Definitie Machten met hetzelfde grondtal noem je
gelijksoortige machten.
Voorbeeld: ax en ay
zijn gelijksoortige machten
am . an = am+n
Voorbeeld
Werkwijze
Om gelijksoortige machten te
vermenigvuldigen :
Ä behoud
je het grondtal en
Ä
tel je de exponenten op.
|
|
26 . 24 = 210
(-3)5
. (-3)7 = (-3)12
am : an
= am-n
Voorbeeld
Werkwijze
Om gelijksoortige machten te delen
:
Ä
behoud je het grondtal en
Ä
trek je de exponenten van elkaar af. (exponent
deeltal - exponent deler)
|
|
47
--- = 45
42
(-5)6
( am
)n = am . n
Voorbeeld Werkwijze
Om een macht te nemen van een macht
:
Ä behoud
je het grondtal en
Ä
vermenigvuldig je de exponenten.
|
|
(63)5
= 615
( (-7)5)9 = (-7)45
1.4 Product
tot een macht verheffen
( a . b . c )m
= am . bm . cm
Voorbeeld
Werkwijze
Om een product tot een macht te
verheffen:
Ä
verhef je elke factor tot die macht.
|
|
(4 × 100)3 = 43
× 1003
(-2 × 15)5 = (-2)5 × 155
a am
( ----- )m =
-----
b bm
Voorbeeld Werkwijze
Om een quotiënt tot een macht te verheffen:
Ä
verhef je teller en noemer tot die macht.
|
|
81
812
(----- )2 = ------
7 72
-5 (-5)3
(
----- )3 = -------
8
83
Opmerking
0n=0
1n=1 a0=1 b1=b c-1=
c-n=
Voorbeeld Werkwijze
|
|
Bij een wetenschappelijke notatie van getallen
schrijf je het getal als een product van twee factoren:
Ä
de eerste factor is een decimaal
getal met één beduidend cijfer (dit is een cijfer verschillend van nul) voor de komma,
Ä
de tweede factor is een macht van
tien.
|
|
321 000 = 3,21
× 105
0,00 047= 4,7 × 10-4
2 Eentermen
Voorbeeld Werkwijze
Om de som (verschil) van gelijksoortige eentermen te berekenen;
Ä
bereken je de som (verschil) van de
coëfficiënten en
Ä
behoud je het lettergedeelte.
|
|
5a + 6a = (5 + 6)a
= 11a
18a2
– 11 a2 = (18 – 11) a2
= 7 a2
2.2.1. Vermenigvuldigen
Voorbeeld Werkwijze
Om het product van eentermen te berekenen;
Ä
vermenigvuldig je de coëfficiënten en
Ä
vermenigvuldig je de letterfactoren.
(exponenten
optellen)
|
|
3 × 6 c4 = 18 c4
(-4 c) × 3 c² = -12
c³
(-5 c3) × (-7 c8) = 35c11
2.2.2. Delen
Voorbeeld Werkwijze
|
|
Om het quotiënt van eentermen te berekenen;
Ä
deel je de coëfficiënten en
Ä
deel je de letterfactoren (exponenten aftrekken).
|
|
27d8 : 3d2 = 9d6
(-35e10) : (-7e7) = 5e3
18d³e : (-6d) = 3d²e
2.3 Eentermen
tot een macht verheffen
Voorbeeld Werkwijze
|
|
Om de macht van een eenterm te berekenen;
Ä
verhef je de coëfficiënt tot die macht en
Ä
verhef je elke letterfactor tot die macht (exponenten vermenigvuldigen).
|
|
(5h³)² = 25h6
(-3h4)3 = -27h12
Voorbeeld Werkwijze
Om de som (verschil) van veeltermen te berekenen;
Ä
werk je de haakjes weg en
Ä
herleid je de bekomen veelterm.
|
|
(3b + 6) – (2b –
3)
= 3b + 6 – 2b + 3
= b + 9
3.2.1. Veelterm . veelterm
Voorbeeld Werkwijze
|
|
Om het product van twee veeltermen te berekenen;
Ä
vermenigvuldig je elke term van de ene veelterm
met elke term van de andere veelterm en
Ä
herleid je de bekomen veelterm.
|
|
(2g – 6) × (3g + 1)
= 6g² + 2g – 18g – 6
= 6g² - 16g – 6
3.2.2.
Veelterm . eenterm
Voorbeeld Werkwijze
|
|
Om het product van een eenterm en een veelterm te berekenen;
Ä
vermenigvuldig je de eenterm met elke term van
de veelterm en
Ä
tel je de bekomen producten op.
|
|
3f×
(5 – 4f) = 15f – 12f²
(-2f2) × (-7f3
+ 4f8)
=14f5
– 8f10
3.2.3. Veelterm : eenterm
Voorbeeld Werkwijze
|
|
Om het quotiënt van veelterm en eenterm te berekenen;
Ä
deel je de coëfficiënten en
Ä
deel je de letterfactoren (exponenten aftrekken).
|
|
(27d8 + 12d5) : 3d2
= 9d6+ 4d3
(-7e10 + 21e7) : (-7e7) = e3 – 3
(18d3e – 6d) : (-6d) = -3d²e + 1
3.3.1 Het kwadraat van een tweeterm (a–b)2
= a2 – 2×a×b
+ b2
Voorbeeld Werkwijze
Het kwadraat van een tweeterm is een drieterm die de som is van:
Ä
het kwadraat van de eerste term en
Ä
het DUBBELproduct van de eerste en de tweede
term en
Ä
het kwadraat van de tweede term.
|
|
(3x + 7)² = 9x² + 42x + 49
(5x – 6)² =
25x² – 60x + 36
(a ± b)2
= a2 ± 2×a×b + b2
+ als
beide termen - als beide
eenzelfde teken termen een
hebben verschillend
teken
hebben
3.3.2 Toegevoegde tweetermen vermenigvuldigen (a+b) × (a-b) =
a² - b²
Voorbeeld Werkwijze
|
|
Het product van twee toegevoegde
twee–termen is een tweeterm die het verschil is van:
Ä
het kwadraat van de gelijke term en
Ä
het kwadraat van één van de tegengestelde
termen.
|
|
(y – 8) × (y + 8) = y² - 64
(-5 + x) . (-5 – x) = 25 – x²
TWEETERM DRIETERM
1)
Gemeenschappelijke
1) Gemeenschappelijk factoren
factoren afzonderen afzonderen
a×b + a×c = a(b+c) a×b + a×c +a×d =
a(b+c+d)
Voorbeeld 12x² - 8x = 2x× (6x – 4) Voorbeeld 6x4 + 12x² - 8x
= 2x× (3x3 + 6x – 4)
2)
Verschil van
twee kwadraten 2) Volkomen kwadraat ontbinden
ontbinden in factoren in
factoren
a² – b² =
(a+b) × (a–b) a²–2×a×b + b² =
(a–b)²
Voorbeeld 49z² -
25 = (7z + 5)× (7z – 5) Voorbeeld
4y² - 24y + 9 = (2y
– 3)²
Definitie : Een evenredigheid is de gelijkheid van twee verhoudingen
3 6
Voorbeeld : -----
= ----- is een evenredigheid
4 8
|
recht
evenredige grootheden
|
omgekeerd
evenredige grootheden
|
|
Tabel:
Voorbeeld:
(als de x-waarde 4x vergroot,
dan vergroot de y-waarde ook 4x)
|
Tabel:
Voorbeeld:
(als de x-waarde 4x vergroot,
dan verkleint de y-waarde ook 4x)
|
|
Eigenschap:
Het
quotiënt is constant
Voorbeeld:
|
Eigenschap:
Het product
is constant
Voorbeeld:
1 × 60 = 2 × 30 = 3 × 20 =
4× 15 = 5 × 12
|
|
Formule:
y = k × x met 
Voorbeeld:
y =5 × x want 
|
Formule:
 met k = x1 × y1 =
x2 × y2 =
x3 × y3
Voorbeeld:
want 60 = 1×60 = 2×30 = 3×20 = 4×15 = 5×12
|
|
Grafiek:
rechte door de oorsprong
|
Grafiek:
hyperbool
|
In een evenredigheid is het product van
de middelste termen gelijk aan het product van de uiterste termen.
a c
Met symbolen : -----
= ----- ó a.d = b.c (a en d: de
uiterste termen)
b
d (b
en c : de middelste termen)
Eigenschappen:
Elke verschuiving bewaart de
hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte stand.
Elke verschuiving beeldt een rechte af
op een evenwijdige rechte.
Constructie:
Eigenschappen:
Elke draaiing bewaart de hoekgrootte,
de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte stand.
Constructie:
|
|
De spiegeling sa is bepaald door:
Ä
de spiegelas: a
|
|
Eigenschappen:
Elke spiegeling bewaart de hoekgrootte, de lengte,
de evenwijdigheid en de loodrechte stand.
Constructie:
De puntspiegeling sA is bepaald door:
Ä het centrum: A
|
|
Eigenschappen:
Elke puntspiegeling bewaart de
hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte stand.
Elke puntspiegeling beeldt een rechte
af op een evenwijdige rechte.
Constructie:
Definitie
: Figuren die elkaar volledig
bedekken noem je congruente figuren.
Notatie
: ΔABC @ ΔA’B’C’ ΔABC is congruent
met ΔA’B’C’
ZZZ : twee driehoeken zijn congruent als
al
hun zijden twee aan twee gelijk zijn.
ZHZ : twee driehoeken zijn congruent als
twee
zijden en de ingesloten hoek
twee aan twee
gelijk zijn.
HZH : twee
driehoeken zijn congruent als
een zijde en
de twee aanliggende
hoeken twee
aan twee gelijk zijn.
ZHH : twee
driehoeken zijn congruent als
een zijde, een
aanliggende hoek en
de overstaande
hoek twee aan twee
gelijk zijn.
Bijzonder
kenmerk : congruentiekenmerk voor rechthoekige driehoeken
SR : twee rechthoekige driehoeken zijn congruent
als ze de schuine zijde en
een paar
rechthoekszijden gelijk hebben.
(zie
Vademecum 1)
Definitie: Als
je een figuur vergroot of verkleint, bekom je een gelijkvormige figuur.
Notatie: ΔABC ~ ΔA’B’C’ ΔABC is
gelijkvormig met ΔA’B’C’
Eigenschappen:
Bij twee gelijkvormige figuren:
- zijn de overeenkomstige hoeken gelijk
-
is de verhouding tussen de lengten van de overeenkomstige zijden
constant en gelijk aan de gelijkvormigheidsfactor r.
8 Hoeken bij
evenwijdigen en een snijlijn
|
|
Â4 en Ê4
zijn overeenkomstige hoeken
(=
binnen- en buitenhoek aan dezelfde kant van de snijlijn)
|
|
|
Â4
en Ê2 zijn verwisselende buitenhoeken
|
|
|
Â1
en Ê4 zijn verwisselende binnenhoeken
|
|
|
Â1 en Ê4
zijn binnenhoeken aan dezelfde
kant van de snijlijn
|
|
|
Â4 en Ê1 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de
snijlijn
|
Eigenschappen
Als twee evenwijdige gesneden worden door eenzelfde
rechte dan zijn:
de
overeenkomstige hoeken gelijk
de
verwisselende binnenhoeken gelijk
de verwisselende buitenhoeken gelijk
de binnenhoeken aan dezelfde kant van
de snijlijn supplementair
de buitenhoeken aan dezelfde kant van
de snijlijn supplementair
Definitie Een
buitenhoek van een driehoek is een nevenhoek van een hoek van die driehoek.
Eigenschap
Een buitenhoek van een driehoek is
gelijk aan de som van de niet-aanliggende hoeken van die driehoek.
|
|
Â1 is een buitenhoek van driehoek
ABC
Ä1
= Ê + Ô
|
De hoekensom van een n-hoek = (n
- 2) × 180°
Voorbeelden
De hoekensom
van een driehoek = (3 - 2) ×180°
= 1× 180°
= 180°
De hoekensom
van een vierhoek = (4 - 2) ×180°
= 2 × 180°
= 360°
De hoekensom
van een tienhoek = (10 - 2) × 180°
= 8 × 180°
= 1 440°
Definitie De
middelloodlijn van een lijnstuk is de loodlijn door het midden van dat
lijnstuk.
Constructie
van een middelloodlijn
(zie Vademecum 1 pagina 14)
Eigenschap
De middelloodlijn van een lijnstuk is
de verzameling van punten die even ver liggen van beide eindpunten van dat
lijnstuk.
Definitie De
bissectrice van een hoek is de
rechte door het hoekpunt die de hoek in
twee gelijke hoeken verdeelt.
Constructie van een bissectrice :
(zie Vademecum 1 pagina 16)
Eigenschap
De bissectrices van hoeken gevormd door
twee snijdende rechten vormen samen de verzameling van alle punten die even ver
liggen van beide snijdende rechten
12.1
Definities
Trapezium: een vierhoek
met minstens twee evenwijdige zijden.
Parallellogram: een vierhoek
waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn.
Rechthoek: een vierhoek
met vier gelijke hoeken.
Ruit: een vierhoek
met vier even lange zijden.
Vierkant: een vierhoek
met vier gelijke hoeken en vier even lange zijden.
12.2
Eigenschappen
|
Eigenschap
|
Parallellogram
|
Ruit
|
Rechthoek
|
Vierkant
|
|
Elke twee overstaande
zijden zijn gelijk.
|
X
|
X
|
X
|
X
|
|
Elke twee overstaande
hoeken zijn gelijk.
|
X
|
X
|
X
|
X
|
|
De diagonalen snijden
elkaar in het midden.
|
X
|
X
|
X
|
X
|
|
De diagonalen zijn even
lang.
|
|
|
X
|
X
|
|
De diagonalen staan loodrecht
op elkaar.
|
|
X
|
|
X
|
|
De diagonalen zijn
symmetrieassen.
|
|
X
|
|
X
|
|
Het snijpunt van de
diagonalen is een symmetriemiddelpunt.
|
X
|
X
|
X
|
X
|
|
Figuur
|
zijden
|
hoeken
|
symmetrieas
|
merkwaardige lijnen
|
|
Gelijkbenige
driehoek
|
benen zijn gelijk
|
basishoeken zijn gelijk
|
één, nl.
de middelloodlijn van de basis
|
bissectrice van
de tophoek is ook:
·
de
zwaartelijn uit de top
·
de
hoogtelijn uit de top
·
de
middelloodlijn van de basis
|
|
Gelijkzijdige
driehoek
|
zijden zijn gelijk
|
hoeken gelijk aan 60°
|
drie, nl.
de middelloodlijnen van de zijden
|
bissectrice van
een hoekpunt is ook:
·
de
zwaartelijn uit het hoekpunt
·
de
hoogtelijn uit het hoekpunt
·
de
middelloodlijn van de overstaande zijden
|
( Met dank aan Daisy
Peelmans )
is bepaald door : 
