Vademecum 2de jaar

 

( Andr Snijers )

 

 

INHOUDSTABEL

 

1 Rekenregels voor bewerkingen met machten. 3

1.1 Gelijksoortige machten vermenigvuldigen. 3

1.2 Gelijksoortige machten delen. 3

1.3 Macht tot een macht verheffen. 3

1.4 Product tot een macht verheffen. 5

1.5 Quotint tot een macht te verheffen. 5

1.6 Wetenschappelijke schrijfwijze van getallen. 5

2 Eentermen. 6

2.1 Eentermen optellen en aftrekken. 6

2.2 Eentermen vermenigvuldigen en delen. 6

2.3 Eentermen tot een macht verheffen. 7

3 Veeltermen. 7

3.1 Veeltermen optellen en aftrekken. 7

3.2 Veeltermen vermenigvuldigen en delen. 7

3.3 Merkwaardige producten. 8

3.4 Ontbinden in factoren. 9

4 Evenredige grootheden. 9

4.1 Evenredigheden. 10

4.2 Recht- en omgekeerd evenredige grootheden. 10

4.3 Hoofdeigenschap van de evenredigheden. 11

5 Transformaties van het vlak. 12

5.1 Verschuiving. 12

5.2 Draaiing. 13

5.3 Spiegeling. 14

5.4 Puntspiegeling. 15

6 Congruentie. 15

6.1 Congruentiekenmerken voor driehoeken. 16

6.2 Constructie van een even grote hoek met de passer 16

7 Gelijkvormigheden. 16

8 Hoeken bij evenwijdigen en een snijlijn. 17

9 Buitenhoek van een driehoek. 18

10 Hoekensom van veelhoeken. 18

11 Merkwaardige lijnen. 20

11.1 Middelloodlijn van een lijnstuk. 20

11.2 Bissectrice van een hoek (deellijn). 20

12 Eigenschappen (en definities) van vlakke figuren. 21

 

 

 


1 Rekenregels voor bewerkingen met machten

 

 

Definitie Machten met hetzelfde grondtal noem je gelijksoortige machten.

 

Voorbeeld: ax en ay zijn gelijksoortige machten

 

 

1.1 Gelijksoortige machten vermenigvuldigen

 

am . an = am+n

 

Voorbeeld Werkwijze

 

 

Om gelijksoortige machten te vermenigvuldigen :

 

       behoud je het grondtal en

 

       tel je de exponenten op.

 

 

 
26 . 24 = 210

 

(-3)5 . (-3)7 = (-3)12

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Gelijksoortige machten delen

 

am : an = am-n

 

Voorbeeld Werkwijze

 

 

Om gelijksoortige machten te delen :

       behoud je het grondtal en

 

       trek je de exponenten van elkaar af. (exponent deeltal - exponent deler)

 

 

 

 
47

--- = 45

42

 

(-5)6

----- = (-5)1 = -5

(-5)5

 

 

 

1.3 Macht tot een macht verheffen

 

( am )n = am . n

 

Voorbeeld Werkwijze

 

 

Om een macht te nemen van een macht :

 

       behoud je het grondtal en

 

       vermenigvuldig je de exponenten.

 

 

 

 
(63)5 = 615

 

( (-7)5)9 = (-7)45

 

 

 

 


 

1.4 Product tot een macht verheffen

 

( a . b . c )m = am . bm . cm

 

Voorbeeld Werkwijze

 

 

Om een product tot een macht te verheffen:

 

                   verhef je elke factor tot die macht.

 

 

 
(4 100)3 = 43 1003

 

(-2 15)5 = (-2)5 155

 

 

 

 

1.5             Quotint tot een macht te verheffen

 

a am

( ----- )m = -----

b bm

 

Voorbeeld Werkwijze

 

 

Om een quotint tot een macht te verheffen:

 

       verhef je teller en noemer tot die macht.

 
81 812

(----- )2 = ------

7 72

 

-5 (-5)3

( ----- )3 = -------

8                            83

 

Opmerking

0n=0 1n=1 a0=1 b1=b c-1= c-n=

 

 

1.6 Wetenschappelijke schrijfwijze van getallen

 

Voorbeeld Werkwijze

 

Bij een wetenschappelijke notatie van getallen schrijf je het getal als een product van twee factoren:

 

       de eerste factor is een decimaal getal met n beduidend cijfer (dit is een cijfer verschillend van nul) voor de komma,

 

       de tweede factor is een macht van tien.

 

 

 
 


321 000 = 3,21 105

0,00 047= 4,7 10-4

 

 

 

 


 

 

2 Eentermen

 

2.1 Eentermen optellen en aftrekken

 

Voorbeeld Werkwijze

 

 

Om de som (verschil) van gelijksoortige eentermen te berekenen;

 

       bereken je de som (verschil) van de cofficinten en

 

       behoud je het lettergedeelte.

 

 

 

 
5a + 6a = (5 + 6)a

= 11a

 

18a2 11 a2 = (18 11) a2

= 7 a2

 

 

 

 

 

 

2.2 Eentermen vermenigvuldigen en delen

2.2.1. Vermenigvuldigen

 

Voorbeeld Werkwijze

 

 

Om het product van eentermen te berekenen;

 

       vermenigvuldig je de cofficinten en

 

       vermenigvuldig je de letterfactoren.

(exponenten optellen)

 
3 6 c4 = 18 c4

 

(-4 c) 3 c = -12 c

 

(-5 c3) (-7 c8) = 35c11

 

 

 

2.2.2. Delen

 

Voorbeeld Werkwijze

 

Om het quotint van eentermen te berekenen;

 

       deel je de cofficinten en

 

       deel je de letterfactoren (exponenten aftrekken).

 

 
 


27d8 : 3d2 = 9d6

 

(-35e10) : (-7e7) = 5e3

 

18de : (-6d) = 3de

 

 

 

 

 

2.3 Eentermen tot een macht verheffen

 

Voorbeeld Werkwijze

 

Om de macht van een eenterm te berekenen;

 

       verhef je de cofficint tot die macht en

 

       verhef je elke letterfactor tot die macht (exponenten vermenigvuldigen).

 

 

 
 


(5h) = 25h6

 

(-3h4)3 = -27h12

 

 

 

 

 

 

 

3 Veeltermen

 

3.1 Veeltermen optellen en aftrekken

 

Voorbeeld Werkwijze

 

 

Om de som (verschil) van veeltermen te berekenen;

 

       werk je de haakjes weg en

 

       herleid je de bekomen veelterm.

 

 
(3b + 6) (2b 3)

 

= 3b + 6 2b + 3

 

= b + 9

 

 

 

 

 

3.2 Veeltermen vermenigvuldigen en delen

 

3.2.1. Veelterm . veelterm

Voorbeeld Werkwijze

 

Om het product van twee veeltermen te berekenen;

 

       vermenigvuldig je elke term van de ene veelterm met elke term van de andere veelterm en

 

       herleid je de bekomen veelterm.

 

 
 


(2g 6) (3g + 1)

 

= 6g + 2g 18g 6

 

= 6g - 16g 6

 

 

 

 

 

3.2.2.     Veelterm . eenterm

 

Voorbeeld Werkwijze

 

Om het product van een eenterm en een veelterm te berekenen;

 

       vermenigvuldig je de eenterm met elke term van de veelterm en

 

       tel je de bekomen producten op.

 

 
 


3f (5 4f) = 15f 12f

 

(-2f2) (-7f3 + 4f8)

 

=14f5 8f10

 

 

 

 

3.2.3. Veelterm : eenterm

 

Voorbeeld Werkwijze

 

Om het quotint van veelterm en eenterm te berekenen;

 

       deel je de cofficinten en

 

       deel je de letterfactoren (exponenten aftrekken).

 
 

 


(27d8 + 12d5) : 3d2 = 9d6+ 4d3

 

(-7e10 + 21e7) : (-7e7) = e3 3

 

(18d3e 6d) : (-6d) = -3de + 1

 

 

 

3.3 Merkwaardige producten

 

3.3.1 Het kwadraat van een tweeterm (ab)2 = a2 2ab + b2

 

Voorbeeld Werkwijze

 

 

Het kwadraat van een tweeterm is een drieterm die de som is van:

 

       het kwadraat van de eerste term en

 

       het DUBBELproduct van de eerste en de tweede term en

 

       het kwadraat van de tweede term.

 

 

 
(3x + 7) = 9x + 42x + 49

 

(5x 6) = 25x 60x + 36

 

 

(a b)2 = a2 2ab + b2

 

 


+ als beide termen - als beide

eenzelfde teken termen een

hebben verschillend

teken hebben

 


3.3.2 Toegevoegde tweetermen vermenigvuldigen (a+b) (a-b) = a - b

 

Voorbeeld Werkwijze

 

Het product van twee toegevoegde tweetermen is een tweeterm die het verschil is van:

 

       het kwadraat van de gelijke term en

 

       het kwadraat van n van de tegengestelde termen.

 

 

 
 

 

 


(y 8) (y + 8) = y - 64

 

 

(-5 + x) . (-5 x) = 25 x

 

 

 

 

 

3.4 Ontbinden in factoren

 

TWEETERM DRIETERM

 


1)                 Gemeenschappelijke 1) Gemeenschappelijk factoren

factoren afzonderen afzonderen

 

ab + ac = a(b+c) ab + ac +ad = a(b+c+d)

 

 

Voorbeeld 12x - 8x = 2x (6x 4) Voorbeeld 6x4 + 12x - 8x

= 2x (3x3 + 6x 4)

 

 

 

2)                 Verschil van twee kwadraten 2) Volkomen kwadraat ontbinden

ontbinden in factoren in factoren

 

a b = (a+b) (ab) a2ab + b = (ab)

 

 

Voorbeeld 49z - 25 = (7z + 5) (7z 5) Voorbeeld 4y - 24y + 9 = (2y 3)

 

 

 

4 Evenredige grootheden

 

4.1 Evenredigheden

 

Definitie : Een evenredigheid is de gelijkheid van twee verhoudingen

3 6

Voorbeeld : ----- = ----- is een evenredigheid

4 8

 

4.2 Recht- en omgekeerd evenredige grootheden

 

recht evenredige grootheden

omgekeerd evenredige grootheden

Tabel:

 

Voorbeeld:

 

(als de x-waarde 4x vergroot,

dan vergroot de y-waarde ook 4x)

Tabel:

 

Voorbeeld:

 

(als de x-waarde 4x vergroot,
dan verkleint de y-waarde ook 4x)

 

Eigenschap:

 

Het quotint is constant

Voorbeeld:

 

Eigenschap:

 

Het product is constant

Voorbeeld:

 

1 60 = 2 30 = 3 20 = 4 15 = 5 12

 

Formule:

y = k x met

 

Voorbeeld:

 

y =5 x want

 

 

 

Formule:

met k = x1 y1 = x2 y2 = x3 y3

 

Voorbeeld:

 

 

want 60 = 160 = 230 = 320 = 415 = 512

 

Grafiek:

 

rechte door de oorsprong

 

Grafiek:

 

hyperbool

 

 

 

4.3 Hoofdeigenschap van de evenredigheden

 

In een evenredigheid is het product van de middelste termen gelijk aan het product van de uiterste termen.

 

a c

Met symbolen : ----- = ----- a.d = b.c (a en d: de uiterste termen)

b d (b en c : de middelste termen)


5 Transformaties van het vlak

 

5.1 Verschuiving

 

Tekstvak: De verschuiving tAB is bepaald door 
een georinteerd lijnstuk  
	de richting: AB
	de lengte: |AB|
	de zin: van A naar B

 

 

 

 

 

 

 


Eigenschappen:

 

Elke verschuiving bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte stand.

 

Elke verschuiving beeldt een rechte af op een evenwijdige rechte.

 

Constructie:

 


5.2             Draaiing

 

 

De draaiing is bepaald door :

       het centrum: O

       de hoek:

       de zin: positieve hoekgrootte tegenwijzerzin

negatieve hoekgrootte in wijzerzin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eigenschappen:

 

Elke draaiing bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte stand.

 

Constructie:

 

 


5.3             Spiegeling

 

De spiegeling sa is bepaald door:

       de spiegelas: a

 

 
 

 

 

 


Eigenschappen:

 

Elke spiegeling bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte stand.

 

Constructie:

 

 


5.4 Puntspiegeling

De puntspiegeling sA is bepaald door:

       het centrum: A

 

 

 

 

 

 

Eigenschappen:

 

Elke puntspiegeling bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte stand.

 

Elke puntspiegeling beeldt een rechte af op een evenwijdige rechte.

 

Constructie:

 

 

 

 

6 Congruentie

 

 

Definitie : Figuren die elkaar volledig bedekken noem je congruente figuren.

 

Notatie : ΔABC @ ΔABC ΔABC is congruent met ΔABC

 

 

6.1 Congruentiekenmerken voor driehoeken

 

 


ZZZ : twee driehoeken zijn congruent als

al hun zijden n aan n gelijk zijn.

 

ZHZ : twee driehoeken zijn congruent als

twee zijden en de ingesloten hoek

n aan n gelijk zijn.

 

HZH : twee driehoeken zijn congruent als

een zijde en de twee aanliggende

hoeken n aan n gelijk zijn.

 

ZHH : twee driehoeken zijn congruent als

een zijde, een aanliggende hoek en

de overstaande hoek n aan n

gelijk zijn.

 

Bijzonder kenmerk : congruentiekenmerk voor rechthoekige driehoeken

 

SR : twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als ze de schuine zijde en
een paar rechthoekszijden gelijk hebben.

6.2 Constructie van een even grote hoek met de passer

(zie Vademecum 1)

 

 

7 Gelijkvormigheden

 

Definitie: Als je een figuur vergroot of verkleint, bekom je een gelijkvormige figuur.

 

Notatie: ΔABC ~ ΔABC ΔABC is gelijkvormig met ΔABC

 

Eigenschappen:

 

Bij twee gelijkvormige figuren:

- zijn de overeenkomstige hoeken gelijk

- is de verhouding tussen de lengten van de overeenkomstige zijden constant en gelijk aan de gelijkvormigheidsfactor r.

 


8 Hoeken bij evenwijdigen en een snijlijn

 

 

 

 

 

 

4 en 4 zijn overeenkomstige hoeken

(= binnen- en buitenhoek aan dezelfde kant van de snijlijn)

 

 

 

 

 

4 en 2 zijn verwisselende buitenhoeken

 

 

 

 

 

1 en 4 zijn verwisselende binnenhoeken

 

 

 

 

 

1 en 4 zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

 

 

 

 

4 en 1 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

 

Eigenschappen

 

Als twee evenwijdige gesneden worden door eenzelfde rechte dan zijn:

de overeenkomstige hoeken gelijk

de verwisselende binnenhoeken gelijk

de verwisselende buitenhoeken gelijk

de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair

de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair

 

 

9 Buitenhoek van een driehoek

 

Definitie Een buitenhoek van een driehoek is een nevenhoek van een hoek van die driehoek.

 

 

Eigenschap

 

Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet-aanliggende hoeken van die driehoek.

 

 

 

 

 

1 is een buitenhoek van driehoek ABC

 

1 = +

10 Hoekensom van veelhoeken

 

De hoekensom van een n-hoek = (n - 2) 180

 

Voorbeelden

 

De hoekensom van een driehoek = (3 - 2) 180

= 1 180

= 180

 

 

De hoekensom van een vierhoek = (4 - 2) 180

= 2 180

= 360

 

 

De hoekensom van een tienhoek = (10 - 2) 180

= 8 180

= 1 440

 


11 Merkwaardige lijnen

 

11.1 Middelloodlijn van een lijnstuk

 

 

Definitie De middelloodlijn van een lijnstuk is de loodlijn door het midden van dat lijnstuk.

 

 

Constructie van een middelloodlijn

 

(zie Vademecum 1 pagina 14)

 

Eigenschap

 

De middelloodlijn van een lijnstuk is de verzameling van punten die even ver liggen van beide eindpunten van dat lijnstuk.

 

 

11.2 Bissectrice van een hoek (deellijn)

 

 

Definitie De bissectrice van een hoek is de rechte door het hoekpunt die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.

 

 

Constructie van een bissectrice :

 

(zie Vademecum 1 pagina 16)

 

Eigenschap

 

De bissectrices van hoeken gevormd door twee snijdende rechten vormen samen de verzameling van alle punten die even ver liggen van beide snijdende rechten

 


12 Eigenschappen van vlakke figuren

 

12.1        Definities

 

Trapezium: een vierhoek met minstens twee evenwijdige zijden.

 

Parallellogram: een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn.

 

Rechthoek: een vierhoek met vier gelijke hoeken.

 

Ruit: een vierhoek met vier even lange zijden.

 

Vierkant: een vierhoek met vier gelijke hoeken en vier even lange zijden.

 

 

12.2        Eigenschappen

 

 

Eigenschap

 

Parallellogram

 

 

Ruit

 

Rechthoek

 

Vierkant

Elke twee overstaande zijden zijn gelijk.

 

 

X

 

X

 

X

 

X

Elke twee overstaande hoeken zijn gelijk.

 

 

X

 

X

 

X

 

X

De diagonalen snijden elkaar in het midden.

 

 

X

 

X

 

X

 

X

De diagonalen zijn even lang.

 

 

 

 

X

 

X

De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

 

 

 

X

 

 

X

De diagonalen zijn symmetrieassen.

 

 

 

X

 

 

X

Het snijpunt van de diagonalen is een symmetriemiddelpunt.

 

X

 

X

 

X

 

X

 

 

Figuur

zijden

hoeken

symmetrieas

merkwaardige lijnen

 

 

Gelijkbenige driehoek

 

 

 

 

benen zijn gelijk

 

 

basishoeken zijn gelijk

 

n, nl.
de middelloodlijn van de basis

 

bissectrice van de tophoek is ook:

        de zwaartelijn uit de top

        de hoogtelijn uit de top

        de middelloodlijn van de basis

 

 

Gelijkzijdige driehoek

 

 

 

 

zijden zijn gelijk

 

 

hoeken gelijk aan 60

 

drie, nl.
de middelloodlijnen van de zijden

 

bissectrice van een hoekpunt is ook:

        de zwaartelijn uit het hoekpunt

        de hoogtelijn uit het hoekpunt

        de middelloodlijn van de overstaande zijden

 

 

( Met dank aan Daisy Peelmans )