Ä Ontbind elk getal in priemfactoren

Ä Maak het product van de gemeen–schappelijke priemfactoren, elk met hun kleinste exponent.

Dit product is de grootste gemeen–schappelijke deler van de gegeven getallen.

Bepaal de ggd van 360 en 84

360 2 84 2

180 2 42 2

90 2 21 3

45 3 7 7

15 3 1

5 5

360 = 2³ × 3² × 5 84 = 2² × 3 × 7

ggd (360, 84) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

5 Kleinste gemeenschappelijk veelvoud van natuurlijke getallen

Werkwijze Voorbeeld

Ä       Ontbind elk getal in priemfactoren .

Ä         Maak het product van alle verschillende priemfactoren, elk met hun grootste exponent. Dit product is het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van de gegeven getallen.

                                                                                         Bepaal kgv van 90 en 84

90 2 84 2

45 3 42 2

15 3 21 3

5 5 7 7

1 1

90 = 2 . 3² . 5 84 = 2² . 3 . 7

kgv (90,84) = 2² × 3² × 5 × 7

= 4 × 9 × 5 × 7

= 1 260

6 Formule niet-opgaande deling

Deeltal = deler × quotiënt + rest met 0 < rest < deler

of D = d × q + r met 0 < r < d

7 Rekenregels voor de bewerkingen met gehele getallen

7.1 Vereenvoudigingsregel

+ (+ ) wordt + - (+ ) wordt -

+ (- ) wordt - - (- ) wordt +

7.2 Optellen van 2 gehele getallen

De twee termen hebben

hetzelfde toestandsteken verschillend toestandsteken

- teken behouden - teken van het getal met de

grootste absolute waarde

- absolute waarden optellen - absolute waarden aftrekken

(grootste absolute waarde – kleinste absolute waarde)

Voorbeeld

6 + 3 = 9 (-6) + 3 = -3

(-6) + (-3) = -9 6 + (-3) = 3

7.3 Vermenigvuldigen van gehele getallen

- teken bepalen a.d.h.v. de tekenregel: +) × (+ = +

+) × ( - = -

- ) × (+ = -

- ) × ( - = +

- absolute waarden vermenigvuldigen

Opmerking aantal negatieve factoren

even oneven

product is positief product is negatief

Voorbeeld

6 × 3 = 18 (-6) × 3 = -18

(-6) × (-3) = 18 6 × (-3) = -18

7.4 Delen van gehele getallen

- teken bepalen a.d.h.v. de tekenregel: +) : (+ = +

+) : (- = -

-) : (+ = -

-) : (- = +

- absolute waarden delen

Voorbeeld

6 : 3 = 2 (-6) : 3 = -2

(-6) : (-3) = 2 6 : (-3) = -2

7.5 Machtsverheffing

Grondtal negatief is

Een macht wordt negatief en

Exponent oneven is

Een macht wordt positief: alle andere gevallen

grondtal	exponent	macht
+	even	+
+	oneven	+
-	even	+
-	oneven	-

Voorbeeld

2⁴ = 16 2³ = 8

(-2)⁴ = 16 (-2)³ = -8

7.6 Regel der haken

+ voor de haken: haken en plusteken weglaten (invoeren) en alle tekens van de termen behouden.

Voorbeelden + (a + b) = a + b

+ (-a – b) = -a - b

- voor de haken: haken en minteken weglaten (invoeren) en elke term binnen de haakjes vervangen door zijn tegengestelde.

Voorbeelden - (a + b) = - a – b

- (-a – b) = a + b

7.7 Volgorde van bewerkingen

1. De bewerkingen binnen de haken.

eerst, dan, daarna.

2. Machtsverheffingen

3. Vierkantsworteltrekkingen

4. Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

5. Optellen en aftrekken van links naar rechts.

8 Rekenregels voor bewerkingen met breuken

8.1 Breuken optellen

1. Breuken vereenvoudigen (zowel in getallen als in tekens)

3. Breuken gelijknamig maken (kgv van de noemers)

4. Tellers optellen, noemer behouden

5. Resultaat vereenvoudigen

8.2 Breuken vermenigvuldigen

1. Eerst voor het toestandsteken zorgen (zie tekenregel van de . van gehele getallen)

2. ^{teller
x teller}

^{------------------------------} en dadelijk vereenvoudigen, niet eerst vermenigvuldigen

^noemer^x
noemer

Opmerking

Het is nutteloos om de breuken eerst gelijknamig te maken.

8.3 Breuken delen

1. Eerst voor het toestandsteken zorgen

2. Eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk

Opmerking

De omgekeerde breuk bekom je door teller en noemer te wisselen.

9 Gemiddelde en mediaan

9.1 Rekenkundig gemiddelde

Het gemiddelde van enige getallen =

9.2 Mediaan

Mediaan van enige getallen: 1) rangschik de getallen van klein naar groot

2) aantal getallen is

even oneven

mediaan is het rekenkundig mediaan is het

gemiddelde van de twee middelste getal

middelste getallen

10 Oplossen van vergelijkingen

10.1 Oplossen van vergelijkingen van de vorm x + a = b

Je mag een term in het ene lid weglaten, mits je het tegengestelde van deze term in het andere lid optelt.

Met symbolen : a + x = b x = b - a

10.2 Oplossen van vergelijkingen van de vorm a x = b

Je mag een van nul verschillende factor in het ene lid weglaten, mits je met de omgekeerde factor in het andere lid vermenigvuldigt.

(m.a.w in het andere lid deelt door deze factor).

Met symbolen : a x = b x =

10.3 Algemene werkwijze voor het oplossen van een vergelijking in x

Werkwijze Voorbeeld

Ä       Onbekende termen overbrengen naar het ene lid; bekende termen naar het andere lid.

Ä       Beide leden uitwerken (=herleiden)

Ä       Factor bij x overbrengen

Ä       2de lid uitwerken en/of vereenvoudigen

3x - 8 = 19 – 6x

3x + 6x = 19 + 8

9x = 27

x =

x = 3

11 Percentberekening

11.1 Percent nemen van een getal (uitrekenen percent)

x . getal

Werkwijze: x % van een getal = -------------

100

8 . 300

Voorbeeld: 8% van 300 = ----------- = 24

100

11.2 Berekenen van het percent (in percent zetten)

Werkwijze: Je deelt het 1ste getal (behaalde, deel, …) door het 2de getal (totaal) en je vermenigvuldigt het daarna met 100.

Voorbeeld: Hoeveel % is 24 van 300 ?

24 . 100

------------ = 8 dus 8 %

300

11.3 Berekenen van het geheel

Werkwijze : Om een getal te berekenen waarvan een zeker percent gegeven is past men de regel van drie toe waarbij het gezochte getal overeenkomt met 100%.

Voorbeeld : 8 % van een bedrag is 24. Wat is dit bedrag ?

8% 24

1% -------

24 . 100

100% ----------- = 300

12 Maten herleiden

12.1 Lengtematen herleiden

Werkwijze

1. Duid de maat aan (het cijfer dat zich op de rang van de eenheden bevindt, duidt de maat aan).

2. Plaats een schuine streep achter in de kolom bij de gevraagde eenheid.

3. Het cijfer dat de maat aanduidt, schrijf je in de kolom van de gegeven eenheid.

4. De overige cijfers van het maatgetal schrijf je op gelijke wijze in de andere kolommen (in elke kolom 1 cijfer). Bij tiendelige getallen laat je de komma weg.

5. Vul de kolom aan met nullen, indien nodig.

6. Noteer de oplossing door alle cijfers uit de tabel over te schrijven en vervang indien nodig, de schuine streep door een komma.

Voorbeelden 34,7 dam = ………………….. cm

23 cm = …………… hm

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
	3	4	7	0	0 /
	0 /	0	0	2	3

Dus 34,7 dam = 34 700 cm

23 cm = 0,002 3 hm

Opmerking

Deze werkwijze geldt ook voor massa’s en inhoudsmaten.

12.2 Vlaktematen herleiden

Werkwijze

1. Duid de maat aan (het getal gevormd door de cijfers op de rang van de tientallen en de eenheden duidt de maat aan).

2. Plaats een schuine streep achter in de kolom bij de gevraagde eenheid.

3. De cijfers die de maat aanduiden, schrijf je in de kolom van de gegeven eenheid.

4. De overige cijfers van het maatgetal schrijf je op gelijke wijze in de andere kolommen. Noteer twee cijfers per kolom. Bij tiendelige getallen laat je de komma weg.

5. Vul de kolom aan met nullen, indien nodig.

6. Noteer de oplossing door alle cijfers uit de tabel over te schrijven en vervang indien nodig, de schuine streep door een komma.

Opmerking

1ha = 1hm² 1 a = 1 dam² 1 ca = 1 m²

Voorbeelden 134,7 dam² = ………………….. cm²

3 cm² = …………… m²

km²	hm² ha		dam² a		m² ca		dm²		cm²		mm²
		1	3	4	7	0	0	0	0	0/
						0/	0	0	0	3

Dus 134 dam² = 134 700 000 cm²

3 cm² = 0,000 3 m²

12.3 Ruimtematen herleiden

Werkwijze

1. Duid de maat aan (het getal gevormd door de cijfers op de rang van de honderdtallen, tientallen en de eenheden duidt de maat aan).

2. Plaats een schuine streep achter in de kolom bij de gevraagde eenheid.

3. De cijfers die de maat aanduiden, schrijf je in de kolom van de gegeven eenheid.

4. De overige cijfers van het maatgetal schrijf je op gelijke wijze in de andere kolommen. Noteer drie cijfers per kolom. Bij tiendelige getallen laat je de komma weg.

5. Vul de kolom aan met nullen, indien nodig.

6. Noteer de oplossing door alle cijfers uit de tabel over te schrijven en vervang indien nodig, de schuine streep door een komma.

Opmerking

1 dm³ = 1 l

Voorbeelden 1 735,8 dm³ = …………………….. cm³

0,52 cm³ = ………………………… dm³

km³	hm³	dam³	m³		dm³			cm³			mm³
				kl	hl	dal	l	dl	cl	ml
				1	7	3	5	8	0	0/
							0/	0	0	0	5	2

Dus 1 735,8 dm³ = 1 735 800 cm³

0,52 cm³ = 0,000 52 dm³

13 Merkwaardige lijnen

13.1 Onderlinge ligging van rechten in het vlak

Snijdende rechten

Snijdende rechten zijn rechten die juist één punt gemeenschappelijk hebben.

Voorbeeld: a b a b

Evenwijdige rechten

Evenwijdige rechten zijn rechten van eenzelfde vlak die elkaar niet snijden

Voorbeeld: a // b

Tekenen van evenwijdige rechten met de geodriehoek

Op de geodriehoek staan lijnen evenwijdig met de tekenzijde van de driehoek. Je gebruikt die om een rechte te tekenen evenwijdig met rechte a.

a b

Loodrechte rechten

Twee rechten staan loodrecht op elkaar als ze een rechte hoek vormen.

Voorbeeld: a ^ b a

90°

b

Tekenen van loodrechte rechten met de geodriehoek b

Op de geodriehoek staat een rechte hoek.

We gebruiken die om een rechte

te tekenen loodrecht op rechte a.

13.2 Middelloodlijn van een lijnstuk

Definitie De middelloodlijn van een lijnstuk is de loodlijn door het midden van dat lijnstuk.

Constructie van een middelloodlijn :

1. Zet de passerpunt in grenspunt A en construeer met een straal langer
dan de helft van lijnstuk [AB] 2 cirkelboogjes of 1 boog (daar waar je
de middelloodlijn verwacht).

2. Zet de passerpunt in grenspunt B en trek met dezelfde
passeropening 2 boogjes of 1 boog. Deze moeten de vorige
snijden. De snijpunten van de boogjes noem je R en P.

3. Teken rechte RP. Dit is de middelloodlijn van [AB].

13.3 Zwaartelijn

Definitie De zwaartelijn door een hoekpunt is een rechte door dat hoekpunt en het midden van de overstaande zijde.

13.4 Hoogtelijn

Definitie De hoogtelijn door een hoekpunt is een rechte door dat hoekpunt en loodrecht op de drager van de overstaande zijde.

Opmerking

De hoogte is de afstand van een hoekpunt tot de overstaande zijde.

Voorbeeld: de hoogte is d(A,BC) = |AV |

13.5 Bissectrice van een hoek (deellijn)

Definitie De bissectrice van een hoek is de rechte door het hoekpunt die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.

Constructie van een bissectrice

1. Zet de passerpunt in punt A en construeer met dezelfde willekeurige
straal op het ene been punt P (= snijpunt been en boogje) en op het
andere been punt Q (= snijpunt been en boogje).

2. Zet de passerpunt in punt P en teken met een straal langer dan de
helft van lijnstuk [PQ] een cirkelboogje.

3. Zet de passerpunt in punt Q en teken met eenzelfde straal een
cirkelboogje dat met het vorige, punt R gemeenschappelijk heeft.

4. Trek rechte AR.

Dit is de bissectrice van Â.

14 Merkwaardige lijnen en hoeken in een cirkel

Straal

Een straal van een cirkel is de lengte van het lijnstuk bepaald door het middelpunt en een punt van de cirkel.

|MS| is de straal.

Koorde

Een koorde van een cirkel is een lijnstuk bepaald door twee verschillende punten van de cirkel.

[CD] is een koorde.

Middellijn

Een middellijn van een cirkel is een rechte door het middelpunt van de cirkel.

m is een middellijn.

Diameter

De diameter is de lengte van een koorde door het middelpunt.

|AB| is de diameter.

Opmerking: de diameter is het dubbele van de straal.

Middelpuntshoek

Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek met als hoekpunt het middelpunt van de cirkel.

Ô is een middelpuntshoek.

Omtrekshoek

Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek met als hoekpunt een punt van de cirkel en de benen snijden de cirkel.

Ŷ is een omtrekshoek.

15 Soorten hoeken

15.1 Hoek (per 1)

Nulhoek: een nulhoek is een hoek van 0°.

Scherpe hoek: een scherpe hoek is een hoek die groter is

dan 0° en kleiner dan 90°.

Rechte hoek: een rechte hoek is een hoek van 90°.

Stompe hoek: een stompe hoek is een hoek die groter is dan 90° en kleiner dan 180°.

Gestrekte hoek: een gestrekte hoek is een hoek van 180°.

Concave hoek: een concave hoek is een hoek die groter is dan 180°. Dit noem je ook een inspringende hoek.

15.2 Hoeken (per 2)

Overstaande hoeken: overstaande hoeken zijn twee hoeken waarvan

de benen in elkaars verlengde liggen.

Opmerking : overstaande hoeken zijn gelijk

Â₁en Â₃ zijn overstaande hoeken.

Aanliggende hoeken: aanliggende hoeken zijn twee hoeken met een

gemeenschappelijk been (en een gemeenschappelijk

hoekpunt). Het gemeenschappelijk been ligt tussen de twee

andere benen.

Â₁ en Â₂ zijn aanliggende hoeken.

Nevenhoeken: nevenhoeken zijn aanliggende hoeken waarvan de som 180° is.

Â₁ en Â₂ zijn nevenhoeken.

Complementaire hoeken: complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 90° is.

Â en Ê zijn complementaire hoeken

Â is het complement van Ê

Ê is het complement van Â

Supplementaire hoeken: zijn twee hoeken waarvan de som 180° is.

Opmerking: nevenhoeken zijn een bijzonder geval van supplementaire hoeken.

Â en Ê zijn supplementaire hoeken

Â is het supplement van Ê

Ê is het supplement van Â

15.3 Even grote hoeken tekenen

Gegeven: hoek Ô

Gevraagd: Teken met behulp van een passer en lat een hoek die even groot is als Ô.

Werkwijze:

1. Teken 1 been van de nieuwe hoek. Noem het nieuwe hoekpunt M.

2. Zet passerpunt in hoekpunt O en trek een boogje dat de 2 benen snijdt

Noem deze snijpunten X en Y

3. Behoud de passeropening en zet de passerpunt in het nieuwe hoekpunt en trek een boogje dat het nieuwe been snijdt Noem dit snijpunt K

4. Pas met je passer de lengte van [XY] af.

5. Zet de passerpunt in K en trek een boogje dat het andere boogje snijdt.

Snijpunt noem je L

6. Teken [ML, dit is het tweede been van de hoek.

16 Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

definities: zie vademecum 2

Vlakke figuren

Omtrek O

Oppervlakte S

Driehoek

O = som van de zijden

Trapezium b

O = som van de zijden

Parallellogram

O = som van de zijden

= 2 × (sz + b)

Rechthoek

O = 2 × (l + b)