Position des astres sur la sphère céleste

Les deux systèmes de coordonnées

L'article suivant rappelle les calculs de base pour la détermination de la position des astres sur la sphère céleste. Ces éléments permettent, en particulier, d'évaluer les dimensions du rectangle “solsticial”, un rectangle joignant les positions du Soleil levant et couchant aux solstices et jouant un rôle essentiel dans les traditions orientées vers le l'est comme les formes celtique, biblique, romaine et chrétienne.

Conformément à la description de la sphère céleste, la position de l'observateur sur Terre est déterminée par la latitude φ (phi). Il sera en mesure d'identifier la position des étoiles et autres astres sur la sphère céleste à partir de deux systèmes de coordonnées se rapportant soit à l'horizon soit à l'équateur.

Coordonnées horizontales

Hauteur h: Distance angulaire au dessus de l'horizon:

0 h 90°

Azimut a: Distance angulaire mesurée le long de l'horizon à partir du point sud et en direction de l'est:

0 a < 360°

Coordonnées équatoriales

Déclinaison δ (delta): Distance angulaire mesurée le long du méridien de l'étoile, en direction du nord ou du sud par rapport à l'équateur:

0 δ 90°, au nord de l'équateur;

- 90° δ < 0, au sud de l'équateur.

Angle horaire τ (tau): Distance angulaire mesurée le long de l'équateur entre le méridien de l'observateur et celui de l'étoile:

0 τ < 360°

Passage d'un système à l'autre

La conversion des coordonnées horizontales en coordonnées équatoriales et inversement peut être dérivée des propriétés du triangle sphérique ZNS délimité par le Zénith, le Pôle Nord et le Soleil.

Les angles et côtés du triangle sphérique, mesurés respectivement à la surface et au centre de la sphère céleste, sont donnés par:

  • ang S = ?; ZN = 90°-φ
  • ang Z= 180°-a; NS = 90°-δ
  • ang N = τ; ZS = 90°-h

Nous obtenons, à partir de la géométrie sphérique les trois formules essentielles suivantes:

  • sin(ang Z)×sin(ZS) = sin(ang N)×sin(NS)
  • sin(180°-a)×sin(90°-h)=sin(τ)×sin(90°-δ)
  • sin(a)×cos(h) = sin(τ)×cos(δ)    (1)
  • cos(ZS) = cos(ZN)×cos(NS)+sin(ZN)×sin(NS)×cos(ang N)
  • cos(90°-h) = cos(90°-φ)×cos(90°-δ)+sin(90°-φ)×sin(90°-δ)×cos(τ)
  • sin(h) = sin(φ)×sin(δ)+cos(φ)×cos(δ)×cos(τ)    (2)
  • cos(NS) = cos(ZN)×cos(ZS)+sin(ZN)×sin(ZS)×cos(ang Z)
  • cos(90°- δ) = cos(90°-φ)×cos(90°-h)+sin(90°-φ)×sin(90°-h)×cos(180°-a)
  • sin(δ) = sin(φ)×sin(h)-cos(φ)×cos(h)×cos(a)    (3)

Ces trois formules nous permettent d'exprimer a et h en fonction de δ et τ et inversement. Elles seront utiles pour déterminer la position apparente du Soleil à son lever et coucher ainsi qu'au zénith. Rappelons que le plan de l'écliptique, parcouru par le Soleil dans son mouvement apparent autour de la du Terre, fait un angle de 23,5° avec celui de l'équateur. Il s'ensuit que la déclinaison du Soleil varie entre -23,5° et 23,5° (pour plus de détails, voir la description de la sphère céleste).

Azimut du Soleil levant et couchant

Au lever et coucher, h = 0, et la dernière formule revêt la simple forme:

  • sin(δ) = - cos(φ)×cos(a)
  • cos(a) = - sin(δ)/cos(φ)

En nous limitant aux positions du Soleil aux solstices et aux équinoxes, nous obtenons les résultats suivants:

  • Azimuth du Soleil levant et couchant
  • - Au solstice d'été, δ = 23,5° et
  •   cos(a) = - sin(23,5°)/cos(φ)
  • - Au solstice d'hiver, δ = - 23,5° et
  •   cos(a) = sin(23,5°)/cos(φ)
  • - À l'équinoxe de printemps, δ = 0 et
  •   a = 90°
  • - À l'équinoxe d'automne, δ = 0 et
  •   a = 270°

La figure ci-dessus décrit le “Rectangle solsticial” pour Jérusalem située à la latitude φ = 31,8°.

Le “rectangle solsticial” devient un carré si a = 45° et cos(φ) = sin(23,5°)/cos(45°), c'est-à-dire à la latitude φ = 55,7° correspondant, par exemple, à la pointe nord de l'Irlande.

Hauteur du Soleil la plus élevée

Le Soleil culmine dans le ciel lorsqu'il traverse le méridien du lieu d'observation (à midi, heure solaire), c'est-à-dire quand a = τ = 0 ou 180°.

Considérons la deuxième formule pour τ = 0°:

  • sin(h) = sin(φ)×sin(δ) + cos(φ)×cos(δ)
  • sin(h) = cos(φ-δ) = sin[90°±(φ - δ)]
  • h = 90°±(φ - δ)

Il s'ensuit que le Soleil ne pourra atteindre le zénith (h = 90°) que si la latitude du lieu d'observation φ égale la déclinaison δ de l'astre. Comme mentionné précédemment, la déclinaison du Soleil est comprise entre -23,5° et 23,5°. Cela signifie que le zénith ne pourra être atteint que dans la bande de latitudes limitée par le tropique du Cancer (φ = 23,5°) et le tropique du Capricorne (φ = -23,5°).

Le Soleil atteint le zénith au plus deux fois par an: une première fois entre les solstices d'hiver et d'été et une seconde fois entre les solstices d'été et d'hiver. Cela est notamment le cas dans les régions de Mésoamérique, anciennement peuplées par les Mayas. Ces deux événements coïncident aux latitudes des tropiques du Cancer et du Capricorne. Le Soleil atteint alors le zénith au solstice d'été.

Quand h < 90°, nous obtenons la formule suivante:

  • h = 90°-φ+δ,  si φ > δ
  • h = 90°+φ-δ,  si φ < δ

La formule donne en particulier la culmination du Soleil pour quelques déclinaisons remarquables:

  • - Pour δ = 23,5°
  • Hauteur du Soleil de midi aux solstices et équinoxes  h = 113,5°-φ,  si φ > δ
  •   h = 66,5°+φ,  si φ < δ
  • - Pour δ = -23,5°
  •   h = 66,5°-φ,  si φ > δ
  •   h = 113,5°+φ,  si φ < δ
  • - Pour δ = 0
  •   h = 90°-φ,  si φ > δ
  •   h = 90°+φ,  si φ < δ

Le schéma ci-dessus donne les résultats pour Jérusalem située à la latitude φ= 31,8°.

Remarquons que le Soleil ne se lève pas du tout (h =0) au solstice d'hiver dans l'hémisphère nord (δ = -23,5°) lorsque la latitude vaut (ou excède) 66,5°, ce qui correspond au cercle polaire arctique ou, par exemple, à la pointe nord de l'Islande.

Un raisonnement similaire pour τ = 180° conduirait à des résultats semblables.