Trigonométrie

EXTRI406

ERM, Bruxelles, Epreuve complémentaire POL, 2007.

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Dans un triangle \(ABC\), on a la relation \(\displaystyle \ \sin\left(A+\frac{B}{2}\right)=k\cdot\sin\frac{B}{2}\ \) où \(k\) est une constante réelle positive.

Démontrer que \(\quad \displaystyle\tan\frac{A}{2}\cdot\tan\frac{C}{2}=\frac{k-1}{k+1}\,. \)




Solution proposée par Hugues Vermeiren

                                 

De l'hypothèse, on tire \(\displaystyle k=\frac{\sin\left(A+\frac{B}{2}\right)}{\sin\frac{B}{2}} \)

\(\displaystyle \frac{k-1}{k+1}= \frac {\dfrac{\sin\left(A+\frac{B}{2}\right)}{\sin\frac{B}{2}}-1} {\dfrac{\sin\left(A+\frac{B}{2}\right)}{\sin\frac{B}{2}}+1}= \frac {\sin\left(A+\frac{B}{2}\right)-\sin\frac{B}{2}} {\sin\left(A+\frac{B}{2}\right)-\sin\frac{B}{2}} \)

Par les formules d'addition, de duplication et de Carnot :

\(\displaystyle\ \begin{align} \frac{k-1}{k+1}&= \frac {\sin A\cdot\cos\frac{B}{2}+\sin\frac{B}{2}\cdot\cos A-\sin\frac{B}{2}} {\sin A\cdot\cos\frac{B}{2}+\sin\frac{B}{2}\cdot\cos A+\sin\frac{B}{2}} \\ &=\frac {\sin A\cdot\cos\frac{B}{2}+\sin\frac{B}{2}\cdot\left(\cos A -1\right)} {\sin A\cdot\cos\frac{B}{2}+\sin\frac{B}{2}\cdot\left(\cos A +1\right)} \\ &=\frac {2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}\cdot\cos\frac{B}{2}+\sin\frac{B}{2}\cdot\left(-2\sin^2\frac{A}{2}\right)} {2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}\cdot\cos\frac{B}{2}+\sin\frac{B}{2}\cdot\left(2\cos^2\frac{A}{2}\right)} \\ &=\frac {\sin\frac{A}{2}\cdot\left(\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}-\sin\frac{B}{2}\sin\frac{A}{2}\right)} {\cos\frac{A}{2}\cdot\left(\sin\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}+\sin\frac{B}{2}\cos\frac{A}{2}\right)} \\ &=\tan\frac{A}{2}\cdot\frac {\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)} {\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)}=\tan\frac{A}{2}\cdot\cot\frac{A+B}{2}\\ \end{align} \)

Mais dans un triangle \(C=\pi-(A+B)\), donc \( \tan\dfrac{C}{2}=\tan\dfrac{\pi-(A+B)}{2}=\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{A+B}{2}\right)=\cot\frac{A+B}{2} \)

On a bien, finalement: \(\displaystyle \ \frac{k-1}{k+1}=\tan\frac{A}{2}\cdot\tan\frac{C}{2} \)


Le 2 septembre 2015