Trigonométrie

EXTRI165

Pol, ERM, Bruxelles 2003.

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Solution proposée par Hugues Vermeiren

  1. Puisque \(\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}\), \[ \tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\,\tan\frac{\pi}{12}}{1-\tan^2\frac{\pi}{12}}\quad(E_1) \] En posant, \(x=\tan\dfrac{\pi}{12}\), \((E_1)\) s'écrit: \[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\,x}{1-x^2}\iff \sqrt{3}\cdot(1-x^2)=6\,x \iff x^2+2\sqrt{3}\,x-1=0 \iff x=2\pm \sqrt{3} \] Comme \(\tan \dfrac{\pi}{12}>0\),   \(\boxed{ \tan\dfrac{\pi}{12}=2-\sqrt{3} }\).

  2. Comme \(\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x\), on obtient en multipliant les deux membres par \(\sin x\) (si \(x\ne k\,\pi\)) : \[ \begin{align} \frac{\sqrt{3}}{\sin x}=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\sqrt{3}\,\sin x &\iff & \cos x\cdot\sin x + \sqrt{3}\,\sin^2 x =\sqrt{3}\\ &\iff & \frac12\,\sin 2x +\sqrt{3}\cdot\frac{1-\cos 2x}{2}=\sqrt{3}\\ &\iff & \sin 2x -\sqrt{3}\cdot\cos 2x=\sqrt{3}\\ \end{align} \]
    • On reconnaît l'équation "linéaire" : \(\ A\cdot\sin X + B\cdot \cos X =C\) qui se résout habituellement en posant \(\tan \varphi=\dfrac{B}{A}, A\ne 0\).
    • En passant, on a utilisé la formule de Carnot : \(\sin^2\alpha=\dfrac12\cdot (1-\cos 2\alpha)\).
    \[ \begin{align} \sin 2x -\sqrt{3}\cdot\cos 2x=\sqrt{3}&\iff & \sin 2x - \tan \frac{\pi}{3}\cdot \cos 2x =\sqrt{3}\\ &\iff & \sin 2x\cdot\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos 2x =\sqrt{3}\,\cos\frac{\pi}{3}\\ &\iff & \sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ &\iff & 2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\text{ou}\quad 2x-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\\ &\iff & \boxed{\ x=\frac{\pi}{3}+k\,\pi\quad\text{ou}\quad x=\frac{\pi}{2}+k\,\pi\ } \end{align} \] Les solutions principales sont donc : \( \displaystyle \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\ \text{et}\ \frac{3\pi}{2}. \)
    Vérifions, par exemple que \(x=\dfrac{\pi}{3}\) est bien une solution:
    Si \(\displaystyle x=\frac{\pi}{3},\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\displaystyle\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \frac{5\pi}{6}=\frac12\)  :   \( \displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}\stackrel{ok!}{=}\frac12+\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \)

1 septembre 2005. Modifié le 12 octobre 2015 (Hugues Vermeiren)