Trigonométrie

EXTRI092

Louvain, juillet 1999.

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La voisine d'Emile lui a demandé conseil pour éclairer sa terrasse (plane et horizontale) de 5 m sur 2.5 m. Il désire la faire en plaçant un spot de type rectangulaire à une certaine hauteur sur un mur vertical de 6 m de haut par rapport au plan de la terrasse, parallèle au long côté de celle-ci, et situé à 2 m en retrait de ce côté.

Emile a trouvé chez l'électricien de son quartier une famille de spots rectangulaires, définie par deux angles d'ouverture. Trois types de spots sont disponibles :

Type de spot Plan transversal
Ouverture verticale
Plan longitudinal.
Ouverture horizontale
FEH 500 2 x 15° 2 x 23°
FEH 1000 2 x 11° 2 x 30°
FEH 1500 2 x 12° 2 x 35°

On supposera que le sommet de la pyramide coïncide avec le point de fixation du spot, dans le plan du mur. Le grand côté est horizontal. L'axe de la pyramide peut être incliné dans le plan vertical perpendiculaire au mur, de 0° (axe vertical vers le sol) à 90° (axe horizontal) autour du point de fixation.

Aidez-le à choisir un spot, pour lequel vous déterminez la hauteur du point de fixation et l'angle d'inclinaison de l'axe de la pyramide, pour éclairer la terrasse, sans trop en déborder (plus la surface totale éclairée sera grande, moins forte sera la lumière).

Déterminez, en justifiant votre réponse :

  1. La forme géométrique de la zone éclairée dans le plan de la terrasse.
  2. Le type de spot choisi
  3. La hauteur de fixation
  4. L'angle de fixation
  5. L'angle d'inclinaison.
  6. Les dimensions de la zone éclairée dans le plan de la terrasse

NOTE : Il existe probablement plus d'une solution. On ne vous demande pas la meilleure, mais bien de proposer une solution acceptable et satisfaisant aux spécifications, dans le temps imparti.

Remarque importante :

Il conviendra d'abord de bien présenter graphiquement, et aussi clairement que possible, ce que l'on désire déterminer. Ensuite, on établira une stratégie de recherche de la solution. Enfin, on décrira clairement les calculs qui permettent d'obtenir la solution. Des résultats intermédiaires permettent de repérer d'éventuelles erreurs, et aident à l'évaluation de la réponse.




                
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La forme éclairée est un trapèze isocèle avec la petite base du côté du projecteur H et parallèle au mur. (Fig 1)
 
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  Si vous êtes arrivé jusqu'ici dans le temps qui vous est impartis, c'est vraiment très bien. Félicitations. Pourtant, nous allons creuser un peu plus pour voir si on peut améliorer notre rapport SE / ST.
Une possibilité est de changer l'angle d'inclinaison de façon à faire coïncider PN et P'N'. (Fig 6). L'axe de la pyramide se déplace en O'.
 
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