IV. Les coniques

      Cette partie du dossier vous aidera à comprendre le chapitre suivant: "Les orbites des comètes" en analysant les différentes trajectoires que peuvent emprunter les corps célestes. En effet, Celles-ci sont des objet particulier des mathématiques: les coniques.

Les orbites sont caractérisées par leur excentricité:

e =

Où e est l'excentricité, c est la demi distance entre les foyers et a le demi-grand axe (voir plus loin). On peut donc classer les trajectoires cométaires en trois groupes:

  • les ellipses d'excentricité e<1
  • les paraboles d'excentricité e=1
  • les hyperboles d'excentricité e>1
Une conique quelconque a pour équation:

F(x,y) º Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

IV.2. Les paraboles

A. Définition:

      Une parabole est le lieu géométrique des points situés à égale distance d'un point fixe (foyer) et d'une droite fixe (directrice).

      On appelle axe de la parabole, la droite comprenant le foyer et perpendiculaire à la directrice; c'est l'axe de symétrie.

      Le point commun à la parabole et à son axe est appelé sommet de la parabole.

      Un segment joignant deux points distincts de la parabole est une corde. Une corde qui passe par le foyer est une corde focale alors que les droites passant par le foyer et un point de la parabole sont appelées rayons focaux. La corde focale qui est perpendiculaire à l'axe de la parabole est le latus rectum.

B. Equation cartésienne:

      Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la parabole de foyer (,0) et de directrice x = - a pour équation cartésienne:

Y2 = 2 p x

Où le latus rectum vaut p

C. Graphe:

IV.3. Les ellipses

A. Définition

      Une ellipse est le lieu géométrique des points dont les distances à 2 points fixes (foyers) ont une somme constante.

      On appelle axes de l'ellipse ses axes de symétrie. Il en existe deux. Celui comprenant les deux foyers qui est qualifié de focale, l'autre de non focale.

      Le point commun aux 2 axes est appelé centre de l'ellipse; c'est son centre de symétrie.

B. Equation cartésienne:

      Dans le plan muni de repères orthonormés, l'ellipse de foyers (± c, 0) et dont la somme des distances à ses foyers vaut 2a, a pour équation cartésienne:

1. a>b

où on à posé b2 = a2 - c2 ;

2. a<b

où on à posé b2 = a2 + c2 ;

rem: dans ce cas, e =

3. a = b

cercle d'équation: x2 + y2 = r2

Où r est le rayon de ce cercle

C. Graphe:

IV.4. Les hyperboles

A. Définition

      Une hyperbole est le lieu géométrique des points dont les distances à 2 points fixes (foyers) ont une différence constante en valeur absolue.

      On appelle axes de l'hyperbole ses axes de symétrie. Il en existe deux. Celui comprenant les deux foyers qui est qualifié de focale, l'autre de non focale.

      Le point commun aux 2 axes de l'hyperbole est appelé centre de l'hyperbole; c'est son centre de symétrie.

      Les points communs à une hyperbole et à son axe focale sont les sommets de l'hyperbole; il en existe deux.

      Le segment reliant les deux sommets est l'axe transverse. Le segment B'B sur le graphe est l'axe conjugué.

      Un segment dont les extrémités sont deux points de l'hyperbole (situés soit sur la même branche, soit sur l'une et l'autre branche) s'appelle une corde. Une corde qui passe par l'un des foyers est une corde focale et une corde focale perpendiculaire à l'axe transversale est un latus rectum.

B. Equation cartésienne:

      Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'hyperbole de foyers (± c, 0) et dont la valeur absolue de la différence des distances à ses foyers vaut 2a, a pour équation cartésienne:

où on a posé b2 = c2 - a2 ;

remarque: si on inverse le rôle de x et de y:

où on a posé b2 = c2 - a2 et dans ce cas, e =

C. Graphe:

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