La somme des angles d'un triangle vaut 180°

On place un point O au milieu du segment [AC]. On effectue une rotation du triangle ABC de centre O, d'amplitude 180° (rotation 2). Effectuer une rotation de 180° équivaut à effectuer une symétrie centrale. L'image d'un segment par une symétrie centrale est un segment qui lui est parallèle. Donc [AB] // [B'C]

On place un point O' au milieu du segment [BC]. On effectue une rotation du triangle ABC de centre O', d'amplitude 180° (rotation 1). Effectuer une rotation de 180° équivaut à effectuer une symétrie centrale. L'image d'un segment par une symétrie centrale est un segment qui lui est parallèle. Donc [AB] // [A'C]

Comme il n'existe qu'une et une seule droite parallèle à une droite donnée (ici AB) passant par un point extérieur à cette droite (ici C),
nous pouvons affirmer que B'CA' sont alignés et forment un angle de 180°.

|B'CA'| = 180°

comme |B'| = |B| et |A'| = |A|

Alors |BCA| = |180°|