Recueil des questions posées.


Louvain

2005


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Juillet, série 1.



Géométrie


On donne dans le même plan, un point fixe F, et un cercle fixe de centre O et de rayon R. Par F, on mène une droite qui intersecte le cercle en deux points A et B. Cette droite pivote autour du point F. On vous demande :

  1. Le lieu du point m1 milieu du segment AF.
  2. Le lieu du point m2 milieu du segment AB.
  3. Un (ou plusieurs) dessin(s) clairs(s) du problème et la représentation précise de chacun des deux lieux (envisagez différents cas si nécessaire et essayez, en vous aidant du compas, de dessiner un maximum sans utiliser les graduations de la latte)

Résolution : EXGSP105 HTML



Les grands chefs coq prétendent qu’un oeuf sur le plat réussi est un cylindre (très plat) qui couvre l’intégralité de la poêle avec une épaisseur uniforme du blanc d’oeuf h égale à 2. Sachant que le volume d’un oeuf dans sa coquille est bien approximé par une sphère de diamètre égal à 30, et sachant que le jaune d’oeuf occupe un volume égal à 1/10 du volume total de l’oeuf, on vous  demande d’estimer le diamètre D de la poêle qu’il convient d’utiliser pour réussir votre oeuf sur le plat. On vous demande de traiter deux cas (plus ou moins proches de la réalité !) :

·        Cas 1 – le jaune d’oeuf est complètement superposé au blanc d’oeuf sous forme d’un petit dôme ;

·        Cas 2 – le jaune d’oeuf se présente sous la forme d’un cylindre dont la hauteur est égale à son diamètre, cylindre qui est incorporé dans le blanc d’oeuf (mais peut en dépasser !) et dont la base est en contact avec la poêle.


Résolution : EXGSE069 HTML


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Géométrie analytique


Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé Oxyz, on considère les éléments suivants :

·        le plan : a º 12x - 9y + 2z + 226 = 0,

·        le point : P = (-11; a; -2),

·        et la droite :

On vous demande

1. de déterminer a afin que le point P appartienne au plan a,

2. de déterminer b afin que la droite d soit parallèle au plan a,

3. de déterminer les équations paramétriques de la droite p passant par le point P et perpendiculaire au plan a


Résolution : EXGAE055 HTML



Dans le plan rapporté à un repère orthonormé Oxy, on considère g, le cercle centré à l'origine et de rayon unitaire. D'autre part, on a le point A = (-a; 0) où a est une constante réelle strictement positive.

On vous demande :

1. de calculer la valeur de a afin que les deux droites issues de A et tangentes au cercle forment un angle de π/3 (dans le triangle formé par A et les deux points de tangence).

2. de donner le lieu du milieu du segment mobile BC tel que le cercle g soit inscrit dans le triangle ABC.


Résolution : EXGAP093 HTML


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Algèbre


Résoudre dans les réels, en discutant par rapport aux paramètres réels a et b, l’équation suivante.


Résolution : EXALG222 HTML



Résoudre dans les réels, l’inéquation suivante :



Résolution : EXALG223 HTML



Soit P ( z ) =  z2 + pz + q un polynôme en z, où z appartient à l’ensemble des complexes et, où les coefficients p et q sont réels.

Déterminez la relation qui doit exister entre p et q pour que P ( z ) ait une racine complexe z dont la partie imaginaire est égale à 20. Exprimez q comme une fonction de p.


Résolution : EXALG224 HTML



La durée totale du croisement (voir définitions ci-dessous) du Thalys Bruxelles-Paris (BP) se déplaçant à une vitesse v0 avec un premier train (PB1), deux fois moins long que BP et roulant en sens inverse à une vitesse v1, a été de 10 secondes.

Quelques minutes plus tard, le même train Bruxelles-Paris (BP) rencontre un second train (PB2), cette fois deux fois plus long que BP et roulant en sens inverse à une vitesse v ; la durée totale de ce second croisement est de 12 secondes.

Plus tard, ce deuxième train (PB2) rattrape le premier (PB1), avant d’arriver à Bruxelles. Ils sont alors sur deux voies parallèles. Quelle sera la durée totale du dépassement du premier train (PB1) par le second (PB2) ? On suppose que les trois trains roulent à vitesses constantes durant toute cette période.


Définitions


La durée totale d’un croisement est le temps qui s’écoule entre l’instant où les deux têtes de train sont au même niveau et celui où leurs arrières le sont à leur tour.


La durée totale d’un dépassement est le temps qui s’écoule entre l’instant où l’avant du train le plus rapide coïncide avec l’arrière de l’autre train et celui où l’arrière du train arrive au niveau de l’autre train.

 

Résolution : EXALG204 HTML


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Analyse


1.      Calculer :   

2.      Etudier la limite en +¥   de la fonction  (On discutera en fonction de a)

3.      Démontrer que la fonction    est dérivable en 0 et donner la valeur de f’(0).

4.      Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soit P un point de la courbe représentative de la fonction y = ex. La tangente en P à cette courbe coupe en H l’axe des abscisses. Démontrer que la projection orthogonale du segment HP sur l’axe des abscisses a une longueur constante.

 

Résolution : EXANA151 HTML



Soit f la fonction définie sur l’intervalle  par

Et soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé

A.        1. Etudier les variations de f sur l’intervalle .

2. Préciser les équations des asymptotes de C.

3. Tracer la courbe C.

B.        1. Soit m un nombre réel et soit Δ  la droite d’équation y = m. Discuter, suivant les valeurs de m, le nombre de points d’intersection de Δ et de C.

2. Pour tout m  > √2, on appelle A et B les points d’intersection de Δ et de C.

Soit I le milieu du segment [AB].

Montrer que, quand m décrit l’intervalle , I décrit une partie, que l’on précisera, de la droite D d’équation


Résolution : EXANA152 HTML



Il y a deux sources de lumière sur une ligne droite. La source A est située à la position (-1;0) et la source B est située à la position (+1;0). La source B est a fois plus lumineuse que la source A.

On peut supposer que l’intensité de la lumière diminue comme l’inverse du carré de la distance à la source. On peut supposer aussi que l’intensité totale à un point donné est la somme des intensités de toutes les sources qui illuminent ce point. Quel est alors le point sur la ligne entre A et B avec l’intensité de lumière minimale, en fonction de a?


Résolution : EXANA153 HTML


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Calcul numérique et trigonométrie



L’examen de calcul numérique est commun aux deux séries de la session de juillet.



Montrer que si les angles d’un triangle ABC vérifient la relation



le triangle est rectangle


Résolution : EXTRI035 HTML



Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l'affirmation est toujours vraie, ou faux si l'affirmation est toujours fausse, ou complétez par une condition qui rende l'affirmation vraie :

 

·        Le plus petit angle d’un triangle est inférieur ou égal à 60°

Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :




·        Pour

Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :




Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :




·                     Dans un triangle rectangle en A, l’aire S du triangle est égal à

 .

Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :




Résolution : EXTRI177 HTML



Je vole dans un ballon (O) et je mesure les distances a = OA, b = OB et c = OC à trois points A, B et C au sol. Le triangle ABC est équilatéral de côté d = 1km. Les distances sont a = b = 2km et c = 2,1km.

1.      Si O’ est ma projection orthogonale au sol, calculez les distances a’, b’ et c’ de O’ aux trois points de référence A, B et C.

2.      Faites un croquis de la situation pour expliquer vos calculs.

On suppose la terre plate pour simplifier le problème.


Résolution : EXTRI178 HTML



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Juillet, série 2.


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Géométrie


Soit un triangle ABC dont le côté BC est fixe et dont la comme des longueurs des côtés AB et AC est constante : . On prolonge le côté AB au delà du sommet A et on construit la bissectrice extérieure à l’angle  (correspondant au sommet A du triangle). On construit ensuite la perpendiculaire à cette bissectrice abaissée de C. Cette perpendiculaire intersecte le prolongement de AB en m1 et la bissectrice en m2. On vous demande

1.      de décrire le lieu du point m1

2.      de décrire le lieu du point m2


Vous veillerez à justifier vos raisonnements, ainsi qu’à construire les données du problème et à représenter précisément chacun des lieux en utilisant au maximum votre compas et votre règle (càd en évitant autant que possible le recours aux graduations de longueur et d’angle.


Résolution : EXGSP106 HTML



Un diabolo est conçu à partir d’un cylindre plein de diamètre D et de hauteur L = 2D, et de deux cônes pleins de diamètre de base D’ et de hauteur h = 3D’. Le cylindre et les deux cônes sont constitués de la même matière. Pour réaliser ce diabolo, on coupe la tête des deux cônes afin de pouvoir les ajuster parfaitement aux deux extrémités du cylindre. Les trois pièces sont collées bout-à-bout. Afin d’obtenir un bon diabolo, il convient que la masse du  cylindre central soit égale à 1/8 de la masse totale du diabolo. Sachant que l’on dispose de cônes dont le diamètre est D’ = 4, on demande d’évaluer le diamètre du cylindre qu’il faut choisir pour réaliser le diabolo


Résolution : EXGSE070 HTML


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Géométrie analytique


Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé Oxyz, on considère les  éléments suivants :

·          le plan : a º  7x + y - 7z = 0,

·          la première droite : d º  2x + 2 = - y - 3 = - 2z + 4;

·          la seconde droite : p º x + 1 = - 2y - 6 = 2z - 4;

On vous demande de déterminer le(s) point(s) D appartenant à la droite d et  le(s) point(s) P appartenant à la droite p afin que le segment de droite de DP soit de longueur 32 et soit parallèle au plan a.


Résolution : EXGAE046 HTML



Dans le plan rapporté à un repère orthonormé Oxy, on considère le triangle ABC.

Les deux premiers sommets sont A = (2; 0) et B = (-2; 0).

Le troisième sommet C est mobile et se déplace sur la droite x + y = 3.

On vous demande de déterminer l'équation du lieu de l'intersection des trois hauteurs du triangle.


Résolution : EXGAP094 HTML


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Algèbre


Résoudre dans les réels, en discutant par rapport au paramètre réel a, l’équation  :


Résolution : EXALG225 HTML



Résoudre dans les complexes, l’équation



Exprimez votre réponse sous la forme a + ib.


Résolution : EXALG226 HTML



Résoudre, dans les nombres réels, le système d’équations suivant :



Résolution : EXALG227 HTML



Michel part du point A vers le point B au même instant où Charles part du point B vers le point A. Ils marchent à vitesses constantes. Quand ils se croisent, Michel a parcouru 200 m de plus que Charles. Ils poursuivent leur marche sans s’arrêter, mais avec des vitesses respectives diminuées de moitié. Après leur rencontre, il faut encore 8 minutes pour que Michel arrive ainsi en B tandis qu’il faut encore 18 minutes pour que Charles arrive en A.

Quelle distance y a t il entre A et B et combien de temps après le départ se croisent-ils ?


Résolution : EXALG228 HTML


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Analyse


1.      Vérifier l’égalité


2.      Calculer :


3.      Calculer


4.      Démontrer que la fonction est dérivable en x = 0 et donner la valeur de f ‘ (0)


Résolution : EXANA154 HTML



A. On munit le plan P d’un repère orthonormé . On considère la fonction f définie sur ¡ par

1.      Etudier les variations de f sur   et tracer la courbe représentative G de f sur cet intervalle.

2.      Calculer l’aire limitée par G,  les droites d’équations  et l’axe des abscisses.

 

B. On se propose d’étudier l’intersection de la courbe G avec la droite Δ  d’équation y = x.

1.      Démontrer qu’il n’existe pas de points d’intersection de G et de Δdont l’abscisse appartient à l’intervalle .

2.      Soit  j la fonction définie sur par :


                              a.      Calculer

                              b.      Etudier les variations de j

                              c.      En déduire qu’il existe un réel unique a de  tel que  (c’est-à-dire tel que f (a) = a).

                              d.      Prouver que a < 1.


Résolution : EXANA155 HTML



Supposons qu’il y a un barrage qui maintient un lac. Le barrage est fait de terre battue. Il y a un défaut de construction au fond du barrage. Il arrive donc un jour qu’un trou se forme au fond du barrage. Le barrage commence ensuite à se vider de plus en plus vite, à cause du trou qui s’agrandit avec le temps. Voici les variables impliquées:

V : le volume du lac (en m3).

s: la surface du trou (en m2).

d: le débit d’eau qui passe par le trou (en m/3/s).

Nous faisons maintenant l’hypothèse que le comportement de ce système est donné par les propriétés suivantes, qu’on suppose vraies au début de la vidange du lac 1. Le débit d’eau est proportionnel à la surface du trou. L’agrandissement de la surface du trou par unité de temps (c’est-à-dire, la dérivée) est proportionnel au débit d’eau. La surface du trou au temps initial (t = 0) est s0>0. La diminution du volume du lac par unité de temps est donnée par le débit d’eau. Exprimez alors le volume du lac en fonction du temps.


(1) Les propriétés données ici ne correspondent pas forcément avec le comportement en réalité


Résolution : EXANA156 HTML


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Calcul numérique et trigonométrie



Voir série 1.


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Septembre



Géométrie


Un triangle quelconque tourne autour de la droite qui joint les milieux de deux de ses côtés. Les deux parties du triangle, situées de part et d’autre de la droite, engendrent chacune un volume. On vous demande de déterminer le rapport de ces deux volumes en expliquant votre démarche au moyen d’un dessin précis.


Résolution : EXGSE071 HTML



Soit un diamètre fixe AB d’un cercle de centre O, et un point mobile C sur la circonférence de ce cercle. On construit D en prolongeant le segment BC  tel que DC =  BC. On vous demande de déterminer.

1.      Le lieu du point D

2.      Le lieu du point M, intersection des droites AC et OD.

De justifiez votre réponse sur base d’une représentation du problème  et d’une représentation précise de chacun des deux lieux. Les dessins seront effectués en utilisant au maximum le compas et la règle (càd sans utiliser les graduations de distance et d’angles).


Résolution : EXGSP107 HTML


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Géométrie analytique


Dans le plan rapporté à un repère orthonormé Oxy, on considère les éléments suivants :

·        le cercle C passant par les points A = (1; 0) et B = (0; 2),

·        le cercle C’ dont l'équation est x2 + y2 - 6x + 4y + 2 = 0.

On vous demande de déterminer les coordonnées du centre et le rayon du cercle C afin qu'il soit orthogonal au cercle C’. Deux cercles sont dits  orthogonaux s'ils se coupent et si leurs tangentes respectives en un point commun sont orthogonales.


Résolution : EXGAP095 HTML



 

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé Oxyz, on considère les deux droites :

Ces deux droites se coupent avec un angle droit en un point A.

On vous demande de donner les équations paramétriques de toutes les droites  qui s'appuyent sur p et q en formant un triangle isocèle et dont la distance à A soit égale à 22.


Résolution : EXGAE057 HTML


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Algèbre



Résoudre dans les réels, l’inéquation suivante :



Résolution : EXALG205 HTML



Résoudre dans les complexes, l’équation



Exprimer votre réponse sous la forme a + ib.


Résolution : EXALG206 HTML



Résoudre dans les réels et discuter en fonction du paramètre réel a, le système d’équations suivant : 



Résolution : EXALG207 HTML



Une personne souhaite partager un certain nombre de pièces d’or entre ses enfants, de telle sorte qu’ :

·        Elle demande au premier de prendre 1 pièce et le septième du reste.

·        Elle demande ensuite au second de prendre 2 pièces d’or et le septième du reste

·        Cela fait, le troisième prend 3 pièces d’or et le septième du reste

·        Et ainsi de suite jusqu’au dernier qui prend tout le reste.


Or, le partage est heureusement réalisé de telle sorte que chacun des enfants reçoit le même nombre de pièces d’or.

Combien y avait-il de pièces d’or à partager et combien y avait-il d’enfants ?


Résolution : EXALG208 HTML



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Analyse


Soit f la fonction numérique définie sur R par



1.      Etudier les variations de la fonction f

2.      Soit (C) représentative de f dans une repère orthonormé  . Montrer que (C) admet une asymptote D dont on précisera l’équation. Préciser la position de (C) par rapport à cette asymptote.

3.      Construire (C)

4.      Déterminer l’aire A(x) du domaine délimité par (C), D et les droites d’équation x = 0 et x = a avec a < 0. Calculer

5.      Soit f1 la restriction de f à l’intervalle

a.      Montrer que f1 est une bijection de I sur un intervalle que l’on précisera

b.      Etudier la continuité et la dérivabilité de f1-1 et construire sa courbe représentative dans le repère

c.      Montrer que l’équation f1 (x) = 0 admet une solution unique que l’on encadrera par deux entiers consécutifs


Résolution : EXANA144 HTML




1. Soit f la fonction définie par :

 Etudier la dérivabilité de f en 0.

2. Soit f la fonction définie par : . Exprimer f(−x) et f(−x) + f(x).

Quel élément de symétrie sa courbe représentative dans un repère  présente-t-elle ?

3. On pose

Calculer I. En utilisant un changement de variable approprié, montrer que J =  π  ´ I - I.

En déduire la valeur de J.

4. Calculer  en fonction de a et de a a et a sont deux réels strictement positifs.


Résolution : EXANA157 HTML



Un grand bol en verre a une hauteur de 0.2m, mesuré à l’intérieur du bol. A la hauteur x à partir du fond du bol, son diamètre intérieur est √x (en mètres). Un pot de confiture avec forme cylindrique a une hauteur intérieure de 0.1m et un diamètre intérieur de 0.1m. Combien de pots de confiture pleins de confiture de groseilles sont nécessaires (à l’unité près) pour remplir le grand bol jusqu’au 2/3 de sa hauteur avec de la confiture de groseilles ?


Résolution : EXANA158 HTML


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Calcul numérique et trigonométrie



Dans le trapèze ABCD, les bases AB = a et CD = ; les côtés parallèles sont BC = c et DA = d, les diagonales sont AC = m et BD = n

1)     Connaissant les quatre côtés, calculer les angles.

2)     Connaissant les bases et les diagonales, calculer les angles et les côtés non parallèles.


Résolution : EXTRI166 HTML



Si

 

démontrer que


Résolution : EXTRI083 HTML



Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l’affirmation est toujours vraie, ou faux si l’affirmation est toujours fausse, ou complétez par une condition qui rende l’affirmation vraie :


·        Le plus grand angle d’un triangle est supérieur ou égal à 60°


Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :





·        Pour

Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :




Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :




·         Un triangle est isocèle si une de ses bissectrices est également une médiane.

Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :




Résolution : EXTRI168 HTML



Deux bateaux a etb naviguent à la même vitesse, mais dans deux directions différentes. Ils s’observent l’un l’autre et mesurent chacun l’angle de sa propre trajectoire et la direction sous laquelle il observe l’autre bateau : au temps t1 par exemple, les bateaux se trouvent en a1 et b1 et les angles A1 et B1 mesurés sont indiqués dans le dessin suivant.
















Au temps t2 les bateaux ont parcouru chacun 10 km dans leurs directions initiales et ils se trouvent en a2 et b2 et mesurent de la même façon deux nouveaux angles A2 et B2.

 

  1. Démontrez que les angles satisfont A1 + B1= A2 + B2
  2. Faites un croquis de la situation pour expliquer ce résultat
  3. trouvez comment calculer les distance a1b1 et a2b2 à partir des angles A1 , B1, A2 , B2
  4. Faites le calcul pour des angles A1 = 80°, B1 = 70°,  A2 = 84°,  B2 = 65°

Résolution : EXTRI67 HTML



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