Recueil des questions posées.


Louvain

2004


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Juillet, série 1.



Géométrie



1) Soit un triangle ABC dont le côté AB est fixe. Le sommet C est situé à une distance R du milieu du segment AB. On appelle M l’intersection des médiatrices des segments AC et BC. On vous demande de déterminer et de décrire avec précision le lieu de M en expliquant votre raisonnement sur base d’un dessin.


Résolution : EXGSP083



2) On vous demande de participer à la conception d’un jouet éducatif pour bébé. Ce jouet à pour but de le familiariser avec les formes géométriques et d’anticiper sa préparation à l’examen d’entrée ingénieur. Le jouet est constitué d’une surface percée de trois formes : (1) un disque de diamètre d. (2) un carré de côté c et (3) un triangle rectangle isocèle d’hypoténuse ?


a)     On demande premièrement de déterminer toutes les relations existant entre d, c et h de façon à ce que l’enfant ne puisse insérer une sphère de diamètre d, un cube de côté c et un prisme à base triangulaire (rectangle isocèle) d’hypoténuse h (la hauteur de ce prisme est grande par rapport à h) que dans la forme sui lui corresponde.

b)     On demande ensuite de fournir un exemple chiffré de valeurs possibles de d, c et h.


Résolution : EXGSE060



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Géométrie analytique


Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé Oxyz, on considère les deux droites



On vous demande de déterminer les équations paramétriques et cartésiennes de la droite s’appuyant sur les droites p et q et passant par le point P = ( 0, 1, 2 )


Résolution : EXGAE042



Dans le plan rapporté a un repère orthonormé Oxy. On considère la famille de cercles d’équations :



m est un paramètre réel variable. On vous demande :


Résolution : EXGAP079



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Algèbre


1) Résoudre dans les réels, l’équation suivante :



Résolution : EXALG173



2) Déterminer le polynôme P ( x ) du 4éme degré tel que

·         Le coefficient de x4 dans P ( x ) vaut 1

·         P ( x ) est divisible par x2 + x + 1

·         Le reste de la division P ( x ) par x2 –1 est  - 3 x + 9

Donner les racines réelles de l’équation P ( x ) = 0


Résolution : EXALG174



3) Résoudre dans les nombres réels :



Résolution : EXALG175

 


Le tronçon de l’autoroute E411 reliant Louvain-La-Neuve à Arlon a pour longueur approximative 150km. Jean met pour franchir cette distance 25 minutes de moins que sont épouse Cécile avec sa Clio.

Or, l’autre jour, ils sont partis en même temps, elle de Louvain-La-Neuve et lui de Arlon. Quand ils se sont croisés, ils ont observé que la différence entre les distances encore à franchir, en km, était égale à la différence entre les nombres de minutes qu’il leur restait à rouler, s’ils conservaient leurs vitesses habituelles respectives (v1 pour Jean et v2 pour Cécile, toutes supposées constantes tout au long du parcours).

·         A quelle distance x0 (en km) étaient-ils de Louvain-La-Neuve lors de leur croisement ?

·         Combien de temps t (en minutes) avaient-ils roulé avant de se croiser ?

·         Calculer également les vitesses v1 et v2 (en km/minutes)


Résolution : EXALG176



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Analyse


1) On considère la fonction f définie par



·         Donnez le domaine de f

·         Etudiez la dérivabilité de f

·         Situez les extrema avec précision (abscisses et ordonnées)

·         Donnez le graphe de f

 

Résolution : EXANA123



2 a) Appliquez la méthode de substitution pour évaluer l’intégrale :


 est une fonction dérivable telle que


b) Calculer


c) Calculer la limite en 0 de la fonction :



d) Montrez que la fonction  définie par  est dérivable en 0 et donnez f ’(0)


Résolution : EXANA124



3) A l’époque de sa construction la 4ème dynastie (c. 2575 – c. 2465 avant J.C.) La Grande Pyramide de Khufu (Chéops) en Egypte avait une base de 230 mètres et une hauteur de 147 mètres. Calculez son volume en mètres cubes. Pour toutes les pyramides du même volume quelles sont la base et la hauteur (approximativement) de celle avec la surface extérieure minimale ? Ne comptez pas la surface du carrée sur laquelle la pyramide repose dans vos calculs.

Vous pouvez supposer que la surface de la pyramide est lisse. Nous vous conseillons d’utiliser des variables b et h dans vos calculs jusqu’à la dernière étape. Une dernière question : est-ce que les architectes de la Grande Pyramide ont utilisé le critère de surface minimale pour calculer ses dimensions ?


Résolution : EXANA125



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Calcul numérique et trigonométrie



L’examen de calcul numérique est commun aux deux séries de la session de juillet.



1) Dans un triangle ABC rectangle en A, AD est la hauteur. Si BD = p et DC = q, démontrer



Résolution : EXTRI060



2) Les angles d’un triangle ABC vérifient la relation suivante


 

Démontrer que le triangle est rectangle.

 

Résolution : EXTRI113



3) Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l’affirmation est toujours vraie, ou faux si l’affirmation est toujours fausse, ou complétez par une condition qui rende l’affirmation vraie :

 


Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :





Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :


 


Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :





Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :


 



Résolution : EXTRI150



3) Je me trouve sur un bateau sur un lac par temps calme. L’eau reflète les images comme un miroir. Mon point d’observation se trouve à d = 10 m au dessus de la surface de l’eau.


J’observe à l’est un oiseau sous un angle de 30° avec l’horizontale et son image réfléchie dans le lac sous un angle de – 40° avec l’horizontale. A quelle hauteur h1 cet oiseau vole-t-il ?

J’observe à l’ouest un deuxième oiseau sous un angle de 40° avec l’horizontale et son image réfléchie dans le lac sous un angle de – 45° avec l’horizontale. A quelle hauteur h2 ce deuxième oiseau vole-t-il ?

Faites un croquis de la situation et calculez la distance entre les deux oiseaux.


NB : Une onde réfléchie dans un miroir a un angle réfléchi égal à l’angle d’incidence.


Résolution : EXTRI151



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Juillet, série 2.



Géométrie


1) Soit un triangle ABC dont le côté AB est fixe. L’angle correspondant au sommet C est constant. Le point M est défini comme l’intersection de la médiatrice du côté BC et de la hauteur correspondant au côté AC (c’est à dire émanant du sommet B). On demande de déterminer le lieu de M en expliquant clairement le raisonnement sur base d’un dessin. Pour améliorer, la lisibilité, il est peut être utile de réaliser deux dessins, l’un représentant le problème et l’autre la construction finale du lieu.


Résolution : EXGSP084



On vous demande de participer à la conception d’un anneau de vitesse pour voitures de course. Cet anneau de vitesse est constitué de deux lignes droites de longueur L et de deux virages semi circulaires dont le rayon intérieur est égal à . La piste possède une largeur constante égale à R/2. Pour améliorer la tenue de route, l’ensemble de la piste est incliné à 45°. (L’extérieur de la piste est relevé par rapport à l’intérieur). La piste est divisée en deux bandes de même largeur.




Résolution : EXGSE061



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Géométrie analytique



1) Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé Oxyz, on considère les deux droites



On vous demande de trouver le lieu de l’ensemble de points équidistants des deux droites p et q.


Résolution : EXGAE043

 


2) Dans le plan rapporté a un repère orthonormé Oxy. On considère les éléments suivants :


On vous demande de déterminer les droites tangentes à g et parallèle à la droite p.


Résolution : EXGAP080



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Algèbre


1) Soit a un paramètre réel strictement positif. Discuter et résoudre, dans les nombres réels, l’équation suivante.



Résolution : EXALG177



2) Résoudre, dans les nombres réels, l’inéquation suivante :



Résolution : EXALG178



3) Donner toutes les racines complexes (y compris, bien entendu, les racines réelles), sous la forme a + ib de l’équation


 

Résolution : EXALG179



4) Marc et Julien partent en même temps d’un même point et marchent dans la même direction. Chaque fois que la distance qui les sépare est un nombre pair de kilomètre, Marc augmente sa vitesse de ¼ de km/h et, chaque fois que cette distance est un nombre impair de kilomètre, Julien augmente sa vitesse de ½ km/h.

Quand Marc a 4 km d’avance sur Julien, le chemin qu’il a parcouru surpasse de 1 km 1/3 celui qu’il aurait fait si sa vitesse s’était maintenue uniforme et égale à la vitesse de départ ; de son côté Julien a parcouru, à ce moment une distance de 30 km 2/3.

Déterminer les vitesses de Marc et Julien au départ, notées respectivement vA et vB. On notera T1, T2, T3 et T4 les temps de chaque sous-trajet (au bout de T1, l’avance de Marc sur Julien atteint un 1 km, ensuite au bout de T2, elle atteint 2 km, etc..)


Résolution : EXALG180



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Analyse


1) Soit C Le graphe de la fonction f définie par





Résolution : EXANA126



2) a) Calculez

 

b) Résolvez dans R2 le système suivant



c) Calculez la limite en p/2 de la fonction :



d) Soit f la fonction définie sur R par :



Démontrez que la fonction f est dérivable en 0 et donnez la valeur de f’(0)


Résolution : EXANA127



Pour un arbre de hauteur h, supposez que la surface totale des feuilles est s1 avec s1 = ah3 et que les rayons du soleil exposent une surface s2 avec s2 = bh2. On suppose aussi que l’énergie venant des rayons du soleil est complètement utilisée pour la croissance de s1. Dans une première approximation, supposez donc que la croissance de s1 par unité de temps est égale à cs2. Dans ces conditions, quelle est la hauteur de l’arbre en fonction du temps ?


NB : La théorie biologique sous-jacente est purement imaginaire.



Résolution : EXANA128



Calcul numérique et trigonométrie



Voir série 1.


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Septembre



Géométrie


1) Soit un cercle fixe, un point P fixe sur la circonférence et un angle constant. On fait pivoter l’angle autour du point P. Les deux segments formant l’angle rencontrent la circonférence respectivement en A et B. On construit sur base des côtés PA et PB, un parallélogramme APBM. On demande de trouver  (ce compris de représenter sur un dessin précis les données du problème et la solution) :



Résolution : EXGSP 085



2) On extrude (« pousse ») un barreau cylindrique plein de longueur l et de diamètre L / 10 à travers une filière (« ouverture ») afin d’obtenir un profilé creux (« tube ») dont les sections extérieure et intérieure forment un triangle équilatéral. Le côté de la section c = L / 20. L’épaisseur du profilé est égale à c /  30. On demande d’exprimer la longueur du profilé Lp qui sera obtenu en fonction L.


Résolution : EXGSE062



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Géométrie analytique


Dans le plan rapporté a un repère orthonormé Oxy. On considère les éléments suivants :

a, b et  d sont trois paramètres non nuls.

On vous demande


Résolution : EXGAP081



Dans le plan rapporté à un repère orthonormé Oxyz, on considère les éléments suivants :


On vous demande de trouver l’équation de toutes les sphères tangentes aux deux plans, dont le centre se trouve sur le plan Oxyz et dont le rayon vaut 5.


Résolution : EXGAE044



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Algèbre


1) Trouver les paires des valeurs réelles de x et y qui satisfont au système


Résolution : EXALG181



2) Résoudre, dans les nombres réels, l’inéquation que voici


Résolution : EXALG182

 


3) Donner toutes les racines complexes (y compris, bien entendu, les racines réelles). Sous la forme a + bi de l’équation suivante :


Résolution : EXALG183

 

 

4) Le lavoir municipal est équipé de 3 robinets et d’un bac à remplir. Si l’on n’ouvre simultanément que le premier et le deuxième robinet, le bac du lavoir se remplit en 1h 10 m. Si l’on n’ouvre simultanément que le premier et le troisième robinet, le bac se remplit en 0h 50m. Si l’on ouvre simultanément que le deuxième et le troisième robinet, le bac se remplit en 0h 56m. En combien de temps le bac sera-t-il remplit, si l’on ouvre simultanément les trois robinets ?


Résolution : EXALG184



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Analyse


Soit f la fonction définie par :

 

 

·         Donnez le domaine de définition de f

·         Etablissez le tableau de variations de f

·         Construisez sa courbe représentative.


Résolution : EXANA129



 

2. a) Calculez l’intégrale :

 

b) Calculez l’intégrale :

 

c) Calculer la dérivée de la fonction

 

 

d) Sans utilisez la règle de l’Hospital, calculez la limite suivante :

 

 

Résolution : EXANA130




3) Soit un morceau de charbon de forme parfaitement sphérique de rayon initial r0 qui est en train de brûler dans un feu. Supposez que le volume de charbon consommé par unité de temps est proportionnel à la surface de charbon exposée à l’air. Pour simplifier les calculs, supposez que toute la surface du morceau est exposée à l’air.

Quelle est le rayon du morceau en fonction du temps ? Dans combien de temps le morceau sera-t-il entièrement consommé ?


Résolution : EXANA131



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Calcul numérique et trigonométrie



1) Dans un triangle ABC, rectangle en A, on désigne par h la hauteur AH, par b’ = CH et c’ = BH les projections des côtés b et c sur l’hypoténuse. Connaissant h et B, calculer a, b, c, b’, c’ ainsi que la longueur des trois médianes.



Résolution : EXTRI152



2) Si a + b + c = p, vérifier que

 


Résolution : EXTRI153



3) Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l’affirmation est toujours vraie, ou faux si l’affirmation est toujours fausse, ou complétez par une condition qui rende l’affirmation vraie :



Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :





Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :




Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :





Toujours vrai                                                 Toujours faux                       

Vrai si :





Résolution : EXTRI154



4) Sur une table de billard de 100 centimètres sur 200 centimètres, se trouve une balle à 50 centimètres de la bande de droite et à 50centimètres de la bande du dessous.





Il faut exclure les cas où la bande touche deux bandes simultanément.


NB : une balle rebondit contre une bande selon un angle réfléchi égal à l’angle d’incidence.


Résolution : EXTRI55



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