Recueil des questions posées.


Louvain

2003

Liste des recueils. Page d'acceuil

Juillet, série 1




Géométrie


1) On considère un cercle mobile dont le centre se déplace le long d'un arc de cercle donné et qui est tangent à la corde AB de cet arc.

On vous demande:

-1- De déterminer le lieu du point de concours des tangentes menées au cercle variable par les extrémités A et B de la corde en expliquant votre raisonnement.
-2- De représenter le lieu sur un dessin précis.

Résolution : EXGSP077


2) On considère une caisse cubique de côté c. On désire mettre dans cette caisse des troncs cylindriques de hauteur c et de rayon c/20 et ensuite refermer la caisse : en d'autres mots, rien ne peut déborder de la caisse.

On vous demande:

-1- De donner le nombre maximum de cylindres qui peuvent être placés dans cette caisse,
-2- De calculer le rapport entre le volume vide et le volume de la caisse.
-3- D'expliquer votre démarche par un dessin précis.

Résolution : EXGSE055


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Géométrie analytique



1) Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé Oxyz on considère les droites

RECLOU2003eq003.gif

On vous demande de donner les équations paramétriques de la droite d perpendiculaire à chacune de ces droites.

Résolution : EXGAE037


2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé Oxyz on considère les éléments suivants :
On vous demande :

-1- De dessiner les éléments du problème.
-2- De donner une équation du lieu des points de contacts des tangentes à C parallèles à l’axe Oy.

Résolution : EXGAP074


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Algèbre


1) Résoudre,dans les réels, l’équation suivante :

RECLOU2003eq005.gif


Résolution : EXALG149


2) Résoudre,dans les nombres réels, le système suivant, lequel est constitué d’une équation et d’une inéquation 

RECLOU2003eq007.gif


Résolution : EXALG150



3) On considère l’équation suivante, dans laquelle p est un paramètre réel et i représente l’unité imaginaire :

RECLOU2003eq009.gif

-1- Calculer les racines de cette équation, sous la forme a + bi , en fonction du paramètre
-2- Déterminer p pour que le carré du module de chacune des racines soit égal à 65 ( la même valeur pour les deux racines ).

Rappel :le module de a + bi est égal à RECLOU2003eq011.gif

Résolution : EXALG151


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Analyse



1)      a)    RECLOU2003eq013.gif

          b)   RECLOU2003eq015.gif

          c)   RECLOU2003eq017.gif

          d)   RECLOU2003eq019.gif

Résolution : EXANA104



2) On considère la fonction  f : R \ { 2 } à R, définie par

RECLOU2003eq021.gif


-1- Montrer que cette fonction est bien définie sur R \ { 2 }
-2- Donnez l’équation des asymptotes
-3- Esquissez le graphe de f sans calculer f’, mais en sachant que f’ s’annule seulement en un point de [ -1, 0 ] et en un point de [ 3, 4 ]
-4- Montrez que la dérivée de f s’annule en un point de [ -1 , 0 ].

Résolution : EXANA105



3) On considère une cuve obtenue par la rotation d’une parabole

RECLOU2003eq023.gif


autour de l’axe des y. On suppose que a > 0. (Unités, mètre, seconde).
-1- Donner le volume V(h) de la cuve correspondant à RECLOU2003eq025.gif
-2- On remplit la cuve de vin jusqu’à une hauteur de 2 mètres et on ouvre ensuite un robinet assurant un débit d’un litre par seconde. Le niveau de vin dans la cuve devient alors une fonction du temps h(t). Donner la vitesse de descente du niveau du vin en (m/s) au moment où h(t)= 3/2 m

Résolution : EXANA106




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Calcul numérique et trigonométrie



L’examen de calcul numérique est commun aux deux séries de la session de juillet. Il se passe en deux parties. :

Première partie

Cette partie comporte 3 questions, auxquelles vous devez répondre exclusivement sur les feuilles du questionnaire (y compris le verso). L’emploi de feuilles de brouillon est interdit. En cas de nécessité, demandez une feuille supplémentaire aux surveillants, qui vous en fourniront. L’emploi de calculettes est également interdit pour cette partie. A 11h, les feuilles concernant cette partie doivent obligatoirement être remises aux surveillants.

Deuxième partie

Cette partie comporte une seule question (question 4), qui vous sera remise à 11h. Pour cette question, vous pouvez utiliser une calculette (une calculette scientifique non programmable suffit), ainsi que des feuilles de brouillon (feuilles blanches, éventuellement quadrillées) de votre choix.




Question 1

Dans le triangle ABC rectangle en A, on donne l’hypoténuse a et le produit m2 des bissectrices des angles B et C.

RECLOU2003eq027.gif


-1- Démontrer que
RECLOU2003eq029.gif

-2- Etant donné m et a, quelles sont les conditions d’existence d’une solution pour B et C ( on fait l’hypothèse que B > C )

Résolution : EXTRI052



Question 2

Si a + b + c = π
Vérifier que :

RECLOU2003eq031.gif



Résolution : EXTRI139



Question 3 :

Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l’affirmation est toujours vraie, ou faux si l’affirmation est toujours fausse, ou, à défaut, donnez les conditions nécessaires et suffisantes qui rendent l’affirmation vraie 

Toujours vrai                    ________                    Toujours faux                    ________

Vrai si







Toujours vrai                    ________                    Toujours faux                    ________

Vrai si







Toujours vrai                    ________                    Toujours faux                    ________

Vrai si







Toujours vrai                    ________                    Toujours faux                    ________

Vrai si








Résolution : EXTRI140



Question 4:

Je veux faire un parterre de fleurs dans le coin de mon jardin et j’ai acheté autant de pétunias rouges que de blancs. Je veux faire un arrangement dans la forme d’un triangle rectangulaire ABC avec un cercle inscrit comme indiqué dans le schéma suivant :

RECLOU2003eq033.gif


Les fleurs rouges iront dans le cercle, les fleurs blanches rempliront le reste du triangle.

-1- Quelles sont les valeurs possibles de l’angle B pour que je puisse planter autant de fleurs rouges que de blanches ?
-2- Ensuite, donner le rayon r du cercle et les côtés a, b et c du triangle si j’ai acheté pour 2 m2 de fleurs et si je veux les utiliser toutes ?

Résolution : EXTRI141


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Juillet, série 2




Géométrie



Par un point fixe O de l'hypoténuse BC du triangle rectangle ABC passe une sécante quelconque qui rencontre la droite AB en D et la droite AC en E. Les triangles OBD et OCE sont inscrits dans deux cercles qui se rencontrent en M

On vous demande:

-1- De déterminer le lieu du point M en expliquant clairement votre raisonnement.
-2- De représenter le lieu sur un dessin précis.

Résolution : EXGSP078



2) Soit une pyramide de base B et de hauteur h. On prolonge les arêtes de cette pyramide au-delà du sommet et on coupe ces prolongements par un plan parallèle à la base B. On forme ainsi une seconde pyramide de hauteur h' et de base B'. On définit : ∆h = | h' - h |.
On vous demande d'exprimer la somme des volumes de ces deux pyramides en fonction de B, de B' et de ∆h, en vous aidant d'un dessin du problème.


Résolution : EXGSE056



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Géométrie analytique



1)Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé Oxyz, on considère les éléments suivants :


On vous demande :

-1- De donner une équation du plan α
-2-De déterminer le (ou les) point(s) pour que le triangle ABC soit rectangle, AC soit parallèle à α et BC soit parallèle à β


Résolution : EXGAE038



2)Dans le plan rapporté à un repère orthonormé Oxy, on considère les deux cercles

RECLOU2003eq039.gif


On vous demande :

-1- D’exprimer les coordonnées du centre de C en fonction des paramètres a, b et c.
-2- De donner une relation liant uniquement les paramètres a, b, c et a’, b’, c’ afin que les deux cercles possèdent un point commun où les tangentes à C et C’ sont perpendiculaires entre elles.


Résolution : EXGAP075


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Algèbre



1)Soit a un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres réels, le système d’équations que voici :

RECLOU2003eq041.gif


Résolution : EXALG153


2) Déterminer le(s) polynôme(s) P(x) de degré 6 ayant les propriétés suivantes :

-1- Le coefficient de x6 dans P(x) est égal à 1


-2- Les coefficients de x3 et de x4 dans P(x) sont égaux
-3- P(x) est divisible par RECLOU2003eq043.gif
-4- Le polynôme RECLOU2003eq045.gif est divisible par x2x

Ensuite, calculer toutes les racines complexes de P(x), y compris les racines réelles, bien sûr.

Résolution : EXALG154



3) Soit c un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres réels, l’équation suivante.

RECLOU2003eq047.gif


Résolution : EXALG155



3) Deux cyclistes, A et B, n’ayant à leur disposition qu’une bicyclette ont à parcourir ensemble, en un temps égal à 188/63 h, une certaine distance mesurée par un nombre entier pair de km. Ils conviennent de monter à tour de rôle et de km en km sur la machine qui est laissée à chaque borne kilométrique jusqu’à l’arrivée de celui qui marche à pied. A et B partent en même temps. B monte le premier et sa vitesse à bicyclette est le double de sa vitesse de marche à pied ; la vitesse de A à bicyclette est la même que celle de B. Les deux hommes se retrouvent au même moment au kilomètre sept ; ils estiment alors nécessaire d’augmenter leur vitesse et ils conviennent de la faire en marchant ½ km de plus par heure. C’est encore B qui monte le premier mais cette fois-ci sa vitesse à bicyclette est le double de la vitesse de A marchant à pied ; A à bicyclette a encore la même vitesse que B. Les deux hommes arrivent à destination au même moment. On demande la distance parcourue. Préciser les notations choisies et indiquer clairement les différentes étapes du raisonnement : (i) mise en équation ; (ii) méthode de résolution ; (iii) calcul effectif de la solution (s’il reste du temps).

Résolution : EXALG156



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Analyse



1)              a)       RECLOU2003eq049.gif

                b)       RECLOU2003eq051.gif

                c)       RECLOU2003eq053.gif

                d)       RECLOU2003eq055.gif

Résolution : EXANA107


2)On considère la fonction f définie par :

RECLOU2003eq057.gif


a)Donnez le domaine de f
b)Donnez l’équation des asymptotes s’il y en a
c)Donnez le graphe de f en situant le ou les extrema éventuels.

Résolution : EXANA108


3)On considère la surface de révolution obtenue par rotation autour de l’axe Oy de la courbe définie par

RECLOU2003eq059.gif


a)Donnez un graphe très approximatif de cette courbe ?
b)Donnez le volume correspondant à RECLOU2003eq061.gif
c)Quelle est la limite de ce volume quand RECLOU2003eq063.gif



Résolution : EXANA109



Calcul numérique et trigonométrie



Voir série 1




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Septembre




Géométrie



1) Soit un triangle fixe ABC et un point D mobile situé à une distance constante k du sommet C. On appelle E le point milieu du segment AC.
On vous demande :
-1- Le lieu géométrique du point F milieu du segment BD;
-2- Un dessin précis du lieu de F;
-3- Le lieu géométrique du point G milieu du segment EF;
-4- Un dessin précis du lieu de G (pour la clarté un second dessin est peut être nécessaire).

NB : Pour rappel, les constructions doivent en principe, être menées uniquement à l'aide du compas et d'une règle sans utiliser ni les graduations ni les repères d'angles.


Résolution : EXGSP079


2) Une "maison" est construite à partir d'un cube de côté a auquel on superpose un toit pyramidal de hauteur H. Pour des raisons de dimensionnement du chauffage, on cherche à construire trois niveaux (rez de chaussée au niveau zéro et deux étages) ayant le même volume. Le premier étage est au niveau h1 et le deuxième étage au niveau h1 + h2.

On vous demande :

-1- D'exprimer h1 et h2 en fonction de a et H en discutant la solution pour différentes valeurs de a et H.

-2- D'évaluer h1 dans les cas (i) a = 1 , H = 1/2 et (ii) a = 1 , H = 9.

Résolution : EXGSE057



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Géométrie analytique



1) Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé Oxyz, on considère les droites

RECLOU2003eq065.gif


On vous demande :

-1- De dessiner les deux droites de l’énoncé du problème.
-2- De déterminer analytiquement des équations cartésiennes et paramétriques de la droite d qui coupe les deux droites p et q sachant que le vecteur directeur de d est ( 1 ; 2 ; 3 )

Résolution : EXGAE039


2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé Oxyz, on considère les éléments suivants :

On vous demande :

-1- De dessiner les éléments du problème
-2- De déterminer analytiquement l’équation cartésienne du lieu des points P tels que la distance PA soit égale à la distance de P au cercle . La distance d’un point à un cercle est définie comme la distance la plus courte entre la circonférence et le point en question.
-3- D’interpréter et d’esquisser ce lieu.

Résolution : EXGAP076



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Algèbre



1)Considérons l’équation suivante, dans laquelle k est un paramètre réel :

RECLOU2003eq069.gif


Montrer que si elle admet deux racines réelles, alors une de ces racines est le sinus et l’autre le cosinus d’un même angle. Ensuite, donner les valeurs de cet angle en fonction de k

Résolution : EXALG157


2)Résoudre, dans les nombres réels, l’inéquation suivante :

RECLOU2003eq071.gif

Résolution : EXALG158


3)Soit mun paramètre réel. Résoudre et discuter, dans les nombres réels, les systèmes d’équations que voici :

RECLOU2003eq073.gif


Résolution : EXALG159


4)Une équipe de faucheurs avait à faucher 2 prés, dont l’un était deux fois plus grand que l’autre. Durant une moitié de la journée, l’équipe a fauché une partie du grand pré. Ensuite, elle s’est divisée en deux moitiés. Les faucheurs de la première moitié sont restés sur le grand pré, qu’ils ont fini de faucher le soir, à la fin de la journée. Ceux de la seconde moitié ont fauché le second pré, également jusqu’au soir, mais il en est resté une parcelle, qu’un faucheur à terminer seul le lendemain en une journée de travail. Combien de faucheurs y avait-il dans l’équipe, sachant que toutes ces personnes accomplissent un travail identique sur un intervalle de temps donné.

Résolution : EXALG160



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Analyse


1)              a)      RECLOU2003eq075.gif

                b)      RECLOU2003eq077.gif

                c)      RECLOU2003eq079.gif

                d)      RECLOU2003eq081.gif

Résolution : EXANA110


2)On considère la fonction f définie par :

RECLOU2003eq083.gif


a) Donnez le domaine de f.
b) Donnez l’équation des asymptotes s’il y en a.
c) Donnez le graphe de f en situant le ou les extrema éventuels.


Résolution : EXANA111


3) a)Donnez l’aire maximale d’un rectangle (de côtés parallèles aux axes) inscrits dans la courbe

RECLOU2003eq085.gif


b) Donnez le volume maximal d’un cône obtenu par la rotation d’un triangle d’hypoténuse donnée a autour d’un côté adjacent à l’angle droit.

Résolution : EXANA112



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Calcul numérique et trigonométrie



Question 1 :

Les angles d’un triangle ABC vérifient la relation suivante :

RECLOU2003eq087.gif


Démontrer que le triangle est rectangle.

Résolution : EXTRI043


Question 2 :

Si dans un triangle, on connaît a, b et il existe deux solutions le triangle AB’C et le triangle AB’’C.

RECLOU2003eq089.gif


-1- Calculer, en fonction de a b et A, la différence AB’ – AB’’.
-2- Calculer, en fonction de a, b, et A, l’aire du triangle B’CB’’.
-3- Si C’ et C’’ sont les 2 valeurs de C, montrer que :

RECLOU2003eq091.gif


Résolution : EXTRI142


Question 3 :

Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l’affirmation est toujours vraie, ou faux si l’affirmation est toujours fausse, ou complétez par une condition qui rende l’affirmation vraie.

Toujours vrai                    ________                    Toujours faux                    ________

Vrai si








Toujours vrai                    ________                    Toujours faux                    ________

Vrai si







Toujours vrai                    ________                    Toujours faux                    ________

Vrai si








Toujours vrai                    ________                    Toujours faux                    ________

Vrai si







Résolution : EXTRI143



Question 4 :

Trois avions ( A, B et C )volent en formation triangulaire à une altitude de h mètres. Leur distance mutuelle est de 100 mètres. Un observateur ( O ) sur terre mesure par GPS sa distance aux avions respectifs : OA = 1050 mètres et OB = OC = 1000 mètres. On suppose la terre plate pour simplifier le problème.

-1- Donner un dessin pour schématiser le problème.
-2- Calculer l’altitude h à laquelle les avions volent.
-3- Sous quels angles avec la verticale l’observateur voit-il les avions ?


Résolution : EXTRI144

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Jacques Collot : URL : http://www.matheux.be.tf