Recueil des questions posées.


Liège

2006


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Juillet.



Algèbre


1) Résoudre et discuter le système suivant, dans lequel a est un paramètre réel.

 


Résolution : EXALG230 HTML


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2) a) Trouver tous les nombres z Î £ tels que

      b) Trouver tous les nombres z Î £ tels que

Résolution : EXALG231 HTML


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3) a) Trouver des nombres A, B et C tel que

     b) Ces nombres sont-ils uniques ? On justifiera la réponse.

     c) Déduire de ce qui précède la valeur de


Résolution : EXALG232 HTML


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Analyse


1) Dans le cadre de la modélisation de la production primaire, on décrit généralement la limitation de la synthèse chlorophyllienne par la lumière par le biais de la fonction de Steele

désigne l’intensité lumineuse et où a et b sont des constantes strictement positives déterminées en fonction de résultats expérimentaux.

i.                    Déterminez les valeurs de a et b si on sait que, par définition, l’ensemble des valeurs de f est l’intervalle [0,1] et si les mesures expérimentales font apparaître que f est maximale pour une intensité lumineuse Iopt > 0.

ii.                 En utilisant les valeurs de a et b déterminées au point précédent, esquissez le graphe de f (I) (pour I 0) en discutant s’il y a lieu en fonction de Iopt . En particulier, précisez les équations des asymptotes éventuelles, la position et la nature des extrema éventuels ainsi que la position des points d’inflexion éventuels.

iii.                  Déterminez la meilleure approximation linéaire de f (I) au voisinage de I = 0, i.e. pour des valeurs de l’intensité lumineuse I bien inférieures à l’intensité optimale Iopt .


Résolution : EXANA160 HTML


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2)

i.                    Pour x Î ¡, calculez

a est une constante réelle non nulle. Déduisez-en une expression de eax de la forme

a0, a1, a2sont des coefficients indépendants de x.

Remarque : Une telle expression est souvent utilisée pour approcher la valeur de eax par a0 + a1x au voisinage de x = 0.

 

ii.                 Généralisez le résultat du point i. en déduisant une expression de la forme

et où b0, b1, b2et b3sont des coefficients indépendants de x.

 

iii.               Généralisez le résultat du point i. à une fonction f quelconque (suffisamment continue et dérivable) en évaluant

Pour exprimer f ( x ) sous la forme

g0, g1, g2 sont des coefficients indépendants de x

 

Résolution : EXANA161 HTML


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Trigonométrie et calcul numérique


1) Dans un triangle ABC, on a la relation

Montrer que ce triangle est rectangle


Résolution : EXTRI179 HTML


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2) Dans le triangle ABC (Voir figure), la hauteur AD est coupée en son milieu H par la hauteur CE.

a)     Montrer que  

b)     Sachant que dans tout triangle, on a la relation générale


quelles sont les valeurs de l’angle A pour lesquelles la relation


soit possible ?


Résolution : EXTRI134 HTML


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3) On désire trouver analytiquement la valeur de sin (π/10) sous forme d’une expression contenant éventuellement des radicaux. A cette fin, on procédera comme suit.

a        En posant A = π/10, montrer que cos 3A = sin 2A

b        Développer l’équation précédente en termes de cos A et sin A

c        L’équation obtenue peut se ramener à une équation du second degré en sin A , que l’on résoudra. Faire le bon choix entre les deux solutions possibles.


Résolution : EXTRI180 HTML


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4) Résoudre l’équation :

Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.


Résolution : EXTRI181 HTML


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Géométrie et géométrie analytique


Résoudre trois des cinq questions suivantes.


1) Par un point A extérieur à un cercle C, on mène les tangentes à celui-ci, qui rencontrent C  aux deux points B et B’.

Soient C ’  le cercle circonscrit au triangle ABB’ et t la tangente à C ’   issue de B et en un deuxième point C.

a        Démontrer que le triangle CBB’ est isocèle.

b        Démontrer que les hauteurs issues de B dans les triangles AB’C et CBB’ ont la même longueur.

c        Démontrer que le centre du cercle inscrit au triangle AB’C’ est situé sur la droite BB’


Résolution : EXGSP108 HTML


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2) Soit ABC un triangle rectangle en A et d une droite contenant A. On note G la projection orthogonale de B sur d et E la projection orthogonale de C sur d. On note également d1 la parallèle à AC menée par G et d2 la parallèle à AB menée par E.

  1. Démontrer que d1,, d2 et BC sont concourantes
  2. Déterminer le lieu géométrique du point d’intersection de d1,et d2 quand d varie

Résolution : EXGAP096 HTML


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3) Soit ABC un triangle d’orthocentre H. On note respectivement A1, B1, et C1 les pieds des hauteurs issues de A, B et C. On note  la longueur du vecteur . Démontrer la relation :


Résolution : EXGSP109 HTML


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4) Soit SABC un tétraèdre tel que SA soit perpendiculaire à ABC. On note A’ la projection orthogonale de A sur SBC. Démontrer la relation



A(XYZ) désigne l’aire du triangle XYZ.


Résolution : EXGSE072 HTML


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5)  On considère un tétraèdre OABC et on note G le centre de gravité de la face ABC. On note respectivement A1, B1, C1 les milieux de [ B,C ] , [ C,A ], [ A,B ].

Un plan π parallèle à ABC coupe OA, OB et OC en respectivement A’,B’, C’

  1. Démontrer qu’il existe une unique position de π pour laquelle les droites A’A1, B’B1 et C’C1 sont parallèle à OG
  2. Démontrer que pour toutes les autres positions, ces droites sont concourantes en un point P de la droite OG

Résolution : EXGSE073 HTML


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Septembre.



Algèbre

1) Résoudre le système d’équations suivant, dans lequel a est un paramètre réel :


Résolution : EXALG234 HTML


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2) Dans ¡, résoudre l’inéquation:


Résolution : EXALG235 HTML


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3) a) Démontrer l’égalité suivante, pour tout n Î ¥ :


     b) En déduire que, pour tout n Î ¥  \ {0} :



Résolution : EXPRO024 HTML


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Analyse


1) Soit la fonction

dépendant du paramètre réel a 0.

A.    Dans le cas où a > 0,

i.                    déterminez le domaine de définition de fa ;

ii.                 déterminez la parité de fa ;

iii.               déterminez les asymptotes éventuelles de fa ;

iv.               déterminez les extrema éventuels de fa ;

v.                  déterminez les points d’inflexion éventuels de fa ;

vi.               dressez le tableau récapitulatif ;

vii.             esquissez le graphe de fa.

B.     Dans le cas général a 0, déterminez la relation entre fa et fa.

C.    Dans le cas où a < 0, esquissez le graphe de fa à partir des résultats obtenus en A. et B.


Résolution : EXANA165 HTML


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2) On considère les intégrales

n désigne un naturel quelconque.

i.                    Calculez S1 et C1.

ii.                 Calculez S2 et C2.

iii.               Calculez SnCn.

iv.               Au prix d’une intégration par parties, montrez que


Résolution : EXANA166 HTML


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Trigonométrie et calcul numérique


1) Soit ABC un triangle quelconque non dégénéré. Montrer que



Résolution : EXTRI207 HTML


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2) Soit ABC un triangle et soit Dune droite qui coupe le côté AB en un point F, le côté AC en un point E et le prolongement du côté BC en un point D (voir figure). On donne les rapports :


Que vaut le rapport  ?

Résolution : EXTRI208 HTML


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3) Résoudre l’équation suivante :



     Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.


Résolution : EXTRI209 HTML


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4) Le ménisque convergent représenté à la figure est limité à gauche par un arc de cercle de rayon R1 = 50 mm et à droite par un arc de cercle de rayon R2 = 1000 mm


Résolution : EXTRI210 HTML


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Géométrie et géométrie analytique


Résoudre trois des cinq questions suivantes.


1) Soit un cercle C de centre O et une corde c de ce cercle. Deux droites d1 et d2 sécantes à c rencontrent celle-ci en son milieu M. La droite d1 rencontre C en deux points A1 et B1 ; la droite d2 rencontre C en A2 et B2. On note P l’intersection de c et de la droite A1B2, et Q l’intersection de c et de A2B1. Le pied de la hauteur issue de O du triangle OA1B2 (resp. OA2B1) est noté H1 (resp. H2).

a)     Démontrer que les triangles A1H1M et A2H2M sont semblables

b)     Démontrer que les angles sont égaux.

c)     En déduire que M est le milieu du segment P,Q



Résolution : EXGSP110 HTML


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2) On considère un quadrilatère convexe ABCD. On note E le milieu de [ A,C ] et F le milieu de [ B,D ]. Démontrer que



Résolution : EXGSP071 HTML


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3) Soient deux cercles C et C’ non concentriques. Par tout point P du plan extérieur à ces deux cercles, on peut mener une tangente p à C et une tangente p’ à C’. La droite p rencontre alors C au point de tangence P1, et p’ rencontre C’ en P2.

Déterminer le lieu géométrique des points P du plan tels que

k est un nombre réel donné.


Résolution : EXGAP098 HTML


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4) On considère un tétraèdre ABCD dont la base BCD est équilatérale, et tel que la droite déterminée par A est le centre de gravité de cette base est perpendiculaire au plan BCD.

Soit P un point intérieur au triangle BCD, et p et p’ deux plans s’appuyant sur la droite  AP et respectivement parallèles aux droites BC et BD. Les plans   p et p’ rencontrent l’arête [C,D] en deux points respectifs Q et R. Les distances du point P aux arêtes [B,C], [B,D] et [C,D] sont respectivement dénotées a, b et g. La longueur de l’arête [B,C] est dénotée d.

a)     Montrer que le triangle PQR est équilatéral

b)     Exprimer la longueur d’un côté du triangle PQR  en fonction de a, b et g.

c)     Montrer que la valeur a + b + g ne dépend pas de la position de P.

d)     En déduire que la somme des distances de P aux quatre faces du tétraèdre ABCD est indépendante de P.


Résolution : EXGSE075 HTML


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5) On considère une droite d de l’espace et un point P n’appartenant pas à d. Pour tout plan p contenant d , on note X la projection orthogonale de P sur p.

Déterminer le lieu géométrique décrit par le point X quand p varie.


Suggestion : si on procède par géométrie analytique, on choisira un système d’axes où d est l’un des axes.


Résolution : EXGSE076 HTML


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