Recueil des questions posées.


Liège

2003

Liste des recueils. Page d'acceuil

Juillet




Algèbre


1) Résoudre l'équation (en nombres complexes)

RECLIE2003eq003.gif

Résolution - EXALG121


2) Résoudre et discuter le système suivant, dans lequel a est un paramètre réel :

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Résolution - EXALG122


3) Résoudre l'inéquation suivante dans R

RECLIE2003eq007.gif

Résolution - EXALG123

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Analyse



1) On considère la fonction :
RECLIE2003eq009.gif

où a désigne un paramètre réel non nul. En utilisant la calculatrice graphique, on obtient la représentation suivante de f dans le cas particulier où a = 1

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  1. Esquisser le graphique de f dans le cas où a désigne un paramètre réel strictement positif quelconque. Préciser, en justifiant, le domaine de définition de f, les limites caractéristiques et asymptotes, les extrema et changements de concavité éventuels.
  2. Sans effectuer aucun calcul, esquisser le graphique de f dans le cas où a est strictement négatif.

Résolution - EXANA085


2) on appelle " coefficients de Fourier " de la fonction f les paramètres a0, a1, a2, ….et b1, b2, ….définis par :

RECLIE2003eq012.gif

à condition que ces intégrales existent.
  1. Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction RECLIE2003eq014.gif
  2. Montrer que les coefficients de Fourier d'une fonction paire f sont donnés par

RECLIE2003eq016.gif


Résolution - EXANA086


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Trigonométrie et Calcul numérique



1) Vérifier que, pour tout x, on a l'identité suivante :

RECLIE2003eq018.gif

Résolution - EXTRI122


2) Sans l'aide de la calculatrice, démontrer l'égalité suivante :

RECLIE2003eq020.gif

Résolution - EXTRI123


3) Résoudre l'équation suivante :

RECLIE2003eq022.gif

Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique

Résolution - EXTRI124


4) Soit un triangle dont les côtés mesurent respectivement a = 6 cm, b =4 cm et c = 3 cm (voir figure)

  1. On demande d'abord de calculer les valeurs des trois angles intérieurs du triangle A, B, et C.
  2. On divise le triangle en trois sous-triangles dont le sommet est D, point d'intersection des médianes. On demande de calculer les aires, les angles et les cotés des trois sous-triangles ABD, BCD et ADC (en utilisant uniquement la trigonométrie)
RECLIE2003eq024.gif

Résolution - EXTRI125


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Géométrie et géométrie analytique



Résoudre trois des cinq questions.

1) On considère un triangle ABC dont les angles sont inférieurs à 120°. On construit les triangles équilatéraux ABC', BCA' et ACB' extérieurs à ABC. On note I l'intersection de AA' et CC'.
  1. Démontrer que RECLIE2003eq026.gif
  2. Démontrer que RECLIE2003eq028.gif
  3. Démontrer que les droites AA', BB' et CC' sont concourantes.
RECLIE2003eq030.gif

Résolution - EXGSP070



2) On considère un triangle ABC. Par B, on mène une droite d variable qui coupe AC en D. Déterminer l'équation cartésienne du lieu géométrique du centre de gravité du triangle ABD.

Résolution - EXGAP067



3) On considère un quadrilatère convexe ABCD. On note E le milieu de [ A, C ] et F le milieu de [ B, D ]. Démontrer que

RECLIE2003eq032.gif

Résolution - EXGSP071



4) Soit ABCD un tétraèdre tel que | AC | = | AD | et | BC | = | BD | et tel que les triangles ACD et BCD aient une même aire. Si M et M' sont les milieux de [ C, D ] et [ A , B ], démontrer que MM' est la perpendiculaire commune à AB et CD.

Résolution - EXGSE048



5) Pour tous réels a, b, c non simultanément nuls, on considère le plan

RECLIE2003eq034.gif

  1. Déterminer les conditions sur a, b , c pour que la distance de pabc à l'origine soit égale à 1
  2. Déterminer les conditions sur a, b , c pour que pabc soit parallèle à la droite

    RECLIE2003eq036.gif
  3. Déterminer le lieu géométrique de l'intersection de pabc et de la droite perpendiculaire à pabc passant par l'origine, quand les paramètres a, b, c satisfont les conditions de a) et b)

Résolution - EXGAE030

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Septembre




Algèbre



1) Résoudre l'équation (en nombres complexes) :

RECLIE2003eq038.gif

Suggestion : Développer RECLIE2003eq040.gif

Résolution - EXALG124


2) Résoudre et discuter le système suivant, dans lequel a est un paramètre réel :

RECLIE2003eq042.gif

Résolution - EXALG125



3) Déterminer l'ensemble des valeurs (réelles) de a pour lesquelles l'énoncé :

RECLIE2003eq044.gif

est vrai

Résolution - EXALG126


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Analyse



1) Etudier la fonction
RECLIE2003eq046.gif
a désigne un réel strictement positif.

En discutant s'il y a lieu en fonction de a, déterminer
  1. le domaine de définition de f
  2. les asymptotes éventuelles,
  3. croissance / décroissance / extrema
  4. concavité / points d'inflexion
Etablir le tableau des variations de f et esquisser le graphe de f

Résolution - EXANA087


2) a) Calculer
RECLIE2003eq048.gif

    et
RECLIE2003eq050.gif


    b) Si on note
RECLIE2003eq052.gif


    où n est un naturel, a-t-on
RECLIE2003eq054.gif

    pour tout n ? Justifier sans évaluer aucune intégrale.

Résolution - EXANA088



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Trigonométrie et calcul numérique



1) Pour la figure donnée, calculer l'angle α et l'aire du polygone

RECLIE2003eq056.gif

Résolution - EXTRI126


2) On suppose que l'on connaît la valeur de cos 2 α. Posons cos 2α = m. On demande alors de calculer la valeur de l'expression :

RECLIE2003eq058.gif

En fonction de la valeur de m
Vérifier le résultat obtenu pour m = 1/3

Résolution - EXTRI127


3) Trouver toutes les solutions x qui satisfont à l'équation suivante.

RECLIE2003eq060.gif

Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

Résolution - EXTRI128


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Géométrie et géométie analytique


Résoudre trois des cinq questions suivantes.

1) On considère un triangle quelconque ABC. On note H son orthocentre et D le pied de la hauteur issue de A. La droite AD coupe le cercle circonscrit au triangle en P.
Démontrer que | HD | = | DP |

Résolution - EXGSP072


2) On considère une ellipse ε de demi grand axe a et de demi petit axe b (a > b > 0) . On note A1 et A2 les sommets du grand axe et d1 et d2 les tangentes à l'ellipse en A1 et A2. Par un point P de ε distinct de A1 et A2, on mène une tangente T à ε qui coupe d1 en P1 et d2 en P2. Démontrer que :

RECLIE2003eq062.gif

est indépendant de P.

Résolution - EXGAP068


3) On considère un parallélépipède dont DA, DB, DC sont des arêtes et AA', BB', CC' des diagonales. Montrer que

RECLIE2003eq064.gif

Résolution - EXGSE049



4) On considère le cube ABCDA'B'C'D'. On note P le milieu de [ D', A' ], Q le milieu de [ A, B ], et R le milieu de [ C, C' ],

RECLIE2003eq066.gif

  1. Montrer que RECLIE2003eq068.gif et RECLIE2003eq070.gif
  2. Montrer que le plan PQR est parallèle au plan ACD'
  3. Montrer que PQR coupe le cube selon un hexagone régulier.


Résolution - EXGSE050


5) On considère les droites d1 et d2 données par leurs équations dans un repère orthonormé de l'espace :

RECLIE2003eq072.gif
  1. Montrer que d1 et d2 sont gauches.
  2. Ecrire l'équation du plan p parallèle à d1 et à d2 et qui contient le point P de coordonnées RECLIE2003eq074.gif
  3. Ecrire l'équation d'une droite perpendiculaire à p et qui s'appuie sur d1 et d2

Résolution - EXGAE031


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Jacques Collot : URL : http://www.matheux.be.tf