Recueil des questions posées.


Bruxelles

2003

Liste des recueils. Page d'acceuil

Juillet




Algèbre


1) Déterminer a, b, c Î Â tels que
RECBRU2003eq003.gif
soit divisible par :
RECBRU2003eq005.gif
Factoriser le polynôme P ( x ) obtenu.



2) Démontrer que

RECBRU2003eq007.gif
est divisible par
RECBRU2003eq009.gif
Déterminer le quotient.


3) Simplifier au maximum l'expression suivante :

RECBRU2003eq011.gif




4) En utilisant le binôme de Newton, montrer que :
RECBRU2003eq013.gif



5) Résoudre dans C l'équation
RECBRU2003eq015.gif

Représenter les solutions dans le plan de Gauss



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Analyse



1) Soit la fonction f de Â+ dans  définie par

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Soit C la courbe d'équation y = f ( x )
  1. Vérifier que la fonction f est continue en 0
  2. Calculer f ' ( x ) et f ''( x ) : préciser les domaines de définition de f ' et f ''.
  3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point d'abscisse e.
  4. Etablir le tableau de variations de f , f ' et f '' contenant
    1. Les racines de f , f ' et f '' (pour les valeurs approchées des racines utiliser une décimale et e ≈ 2.72)
    2. Les signes de f ' ( x ) et de f '' ( x )
    3. Les extrema de f, les domaines de croissance et de décroissance de f
    4. Les points d'inflexion de C et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de C.
  5. Tracer soigneusement la courbe C d'après les résultats du d)



2) Dans l'espace euclidien Â3 muni du repère orthonormé Oxyz, soient
  1. Faire le croquis de D
  2. Calculer l'aire de D
  3. Calculer le volume de S



3) Soit
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  1. Sans calculer I n, calculer I n + I n+2
  2. En déduire I 8



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Trigonométrie et Calcul numérique



1) Soit A et B deux points distincts (non diamétralement opposés) d'un cercle de rayon r et C le point d'intersection des tangentes à ce cercle aux points A et B .
Soit RECBRU2003eq023.gif . Calculer les angles et l'aire du triangle ABC en fonction de d et r.



2)Résoudre dans R l'équation :
RECBRU2003eq025.gif




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Géométrie et géométrie analytique



1) Dans un plan rapporté à un repère orthonormé d'origine O et d'axes X et Y, on donne quatre points : A (1, 0), B (3, 2), C (2, 3) et D (0, 1). Calculez le volume balayé par le rectangle ABCD lorsqu'on lui fait subit une rotation de 180° autour de l'axe OY.



2)Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé O et d'axes X, Y et Z, on donne le point P (1, 2, -3), le plan β d'équation 2 X - Y - 2 Z = 0 et la droite d parallèle au vecteur ( 2, -1, -2) et qui passe par A ( 4, -1, -3).
  1. Formez une équation cartésienne du plan α passant par P et contenant d.
  2. Formez une équation cartésienne du plan γ passant par P et parallèle au plan β
  3. Formez des équations cartésiennes de la droite c, intersection des plans α et β.
  4. Déterminez l'angle des droites d et c.
  5. Déterminez les coordonnées du point Q, intersection de c et d ainsi que la distance de P à Q.




3)3) Dans un plan rapporté à un repère orthonormé d'origine O et d'axes X et Y, on donne le cercle d'équation X 2 + Y 2 = 4. On appelle respectivement A et B les points d'intersection du cercle avec les axes OX et OY. Soit H l'orthocentre (point d'intersection des hauteurs) du triangle ABPP est un point qui parcourt le cercle donné.
  1. Etablissez une équation cartésienne du lieu parcouru par le point H
  2. Quelle est la nature de ce lieu ?


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Septembre




Algèbre



1) Déterminer le quotient et le reste de la division de ( x 7 - a 7 ) par ( x - a ) où a Î Â En déduire la valeur de
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2)Le reste de la division de

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par ( x + 2 ) est k et par ( x - 1 ) est - 2 k ( où a, k Î Â )
Calculer a et k



3)Résoudre dans C l'équation


Sachant qu'elle admet i comme racine double



4) Calculer le terme en x dans

RECBRU2003eq033.gif




5) Résoudre dans Â3, en discutant par rapport au paramètre réel m, le système

RECBRU2003eq035.gif



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Analyse



1) Soit la fonction f de  dans  définie par

RECBRU2003eq036.gif

Soit C la courbe d'équation y = f ( x )

  1. Calculer f ' ( x ) et f ''( x ) : préciser les domaines de définition de f ' et f ''.
  2. Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point d'abscisse 1.
  3. Etablir le tableau de variations de f , f ' et f '' contenant
  4. Tracer soigneusement la courbe C d'après les résultats du c)



2) Dans l'espace euclidien Â3 muni du repère orthonormé Oxyz, soient
  1. Faire le croquis de D
  2. Calculer l'aire de D
  3. Calculer le volume de S




3) Soit
RECBRU2003eq039.gif
  1. Sans calculer I et J , calculer I + J et I - J
  2. En déduire I et J.



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    Trigonométrie et calcul numérique



    1) Calculer tan π/8, en déduire cotg π/8, cos π/8 et sin π/8



    2) Résoudre dans  l' équation
    RECBRU2003eq041.gif




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    Géométrie et géométie analytique


    1) Sachant que πab est l'aire d'une ellipse dont les demi axes ont comme longueur a et b, déterminez la relation qui doit relier a et b pour que l'aire du cercle circonscrit à un rectangle de côtés 2a et 2b soit le double de l'aire de l'ellipse inscrite dans ce rectangle.



    2) Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé d'origine O et d'axes X,Y et Z , on donne le point P ( 1, 2, 1) et le plan β d'équation X + Y + Z - 2 = 0.

    1. Formez des équations cartésiennes de la droite d passant par P qui est parallèle au vecteur ( 2, 1, 1)
    2. Déterminez les coordonnées cartésiennes du point Q, intersection de d et β.
    3. Déterminez des équations cartésiennes de la droite c, projection orthogonales de d sur le plan β.
    4. Déterminez une équation cartésienne du plan α perpendiculaire à d et contenant P.
    5. Déterminez des équations cartésiennes de la droite e, intersection des plans &alpha ;et β.
    6. Calculez l'angle formé par les droites c et e.




    3)3) Dans un plan rapporté à un repère orthonormé d'origine O et d'axes X et Y, on donne la parabole d'équation Y 2 = 32 X. On appelle F son foyer. Une droite variable d passant par F coupe la parabole aux points A et B. Soit C le centre du cercle circonscrit au triangle OAB.

    1. Etablissez une équation cartésienne du lieu parcouru par le point C.
    2. Quelle est la nature de ce lieu.?




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    Jacques Collot : URL : http://www.matheux.be.tf