Le nombre d'or

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3. Le nombre d'or en algèbre:

Calcul de la valeur exacte

Nous avons dit (voir définition) que le nombre d'or était (entre autres) le rapport de la grande partie au tout. Ça tombe bien, car des trois grandeurs qui interviennent dans notre proportion dorée, «le tout» est la seule que nous connaissions au départ. Nous allons donc la prendre comme unité de mesure:

XY = 1

Et dans la même unité, l'inconnue, le nombre que nous cherchons, donc le nombre d'or, vaut XZ / XY; ou, puisque XY = 1, il vaut XZ. Puisqu'on représente conventionnellement l'inconnue par la lettre x, nous écrivons:

XZ = x

Enfin, le petit segment, soit ZY, c'est ce qui reste lorsque du «tout» (XY), on enlève «le grand morceau» (XZ): nous pouvons donc écrire

ZY = 1 - x

Notre proportion devient alors

 1 - x     x        

------- = ---   (1c)

   x       1        

et nous savons que nous pouvons aussi l'écrire

(1 - x) . 1 = x . x   (2c)

c'est-à-dire

1 - x = x2

Pour résoudre cette équation, nous mettons tout du même côté (en soustrayant 1 et en ajoutant x), ce qui donne

0 = x2 + x - 1

ou encore

x2 + x - 1 = 0

Résolution.

1. Par la formule du trinòme.

L'équation

ax2 + bx + c = 0

possède 2, 1 ou 0 solutions selon que le discriminant

Δ = b2 - 4ac

est positif, nul ou négatif. Ici nous avons a = 1, b = 1 et c = - 1; donc Δ = 12 - 4.1.(-1) = 1+4 = 5, qui est positif, et il y a deux solutions, dont les valeurs sont

x1 = ½ (-b - √Δ)       et       x2 = ½ (-b + √Δ)

c.-à-d. x1 = (-1 - √5)/2 et x2 = (-1 + √5)/2

Discussion: Nous cherchons une valeur positive, donc x1 est à écarter. Nous conservons x2, qui est le nombre cherché.

2. Par les produits remarquables.

Nous cherchons à exprimer le trinôme x2 + x - 1 sous forme d'une différence de deux carrés. Pour cela, nous appliquons la méthode bien connue: n'importe quoi égale n'importe quoi moins ce qu'il faut pour que ça soit juste.

Le premier «n'importe quoi», c'est ce dont nous partons: x2 + x - 1.

Le deuxième «n'importe quoi» sera un trinôme carré parfait (de la forme a2 ± 2ab + b2; et nous voulons qu'il commence par x2 + x. Il faut donc choisir x2 + 2.x.½ + (½)2, c'est-à-dire x2 + x + ¼, qui est le carré de (x + ½).

Et «pour que ça soit juste», nous écrivons

x2 + x - 1

= (x + ½)2 - ¼ - 1

= (x + ½)2 - 5/4

= (x + ½)2 - (½√5)2

= (x + ½ + ½√5) (x + ½ - ½√5)

Nous cherchons la valeur de x qui rendra nulle cette expression; et comme x est la mesure d'une longueur, il doit être > 0. Dès lors, la seule valeur qui convienne est celle qui annulle le deuxième facteur de ce produit, c'est-à-dire x = -½ + ½√5

x2 = (-1 + √5) /2
Calcul.
5,00 00 00 00 00 | 2,23606
4                |-----------------------------
----             | 43| 444| 4467|44721| 447207|
1 00             |  3|   4|    7|    1|      7|
  84             |---|----|-----|-----|-------|
-------          |129|1776|31269|44721|3130449|
  16 00          |===|====|=====|=====|=======|
  13 29          | 42| 443| 4466|     | 447206|
  --------       |  2|   3|    6|     |      6|
   2 71 00       |---|----|-----|     |-------|
   2 67 96       | 84|1329|26796|     |2683236|
   ------------- |===|====|=====|     |=======|
      3 04 00 00 |
      2 68 32 36 |
      ---------- |
        35 67 64 |

On trouve √5 = 2,23606..., d'où ½√5 = 1,11803... et ½√5 - ½ = 0,61803...


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