Le nombre d'or

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2. Le nombre d'or en arithmétique:

Valeurs approchées fractionnaires

Revenons à la figure 1 (au chapitre précédent: Rappel historique et définition).

Une manière de résoudre le problème serait d'essayer divers emplacements pour le point Z, et de déterminer à chaque fois si nous sommes «trop à gauche» ou «trop à droite».

Essayons d'abord le milieu: Z1Y = XZ1, donc Z1Y/XZ1 = 1

Or XZ1/XY = 1/2 = 0,5 < 1

Le grand segment est trop petit par rapport au petit. Nous sommes trop à gauche.

Plaçons-nous un peu plus à droite: essayons par exemple le point pour lequel on aura Z2X/XZ2 = 1/2

On trouve XZ2/XY = 2/(1+2) = 2/3 = 0,666... > 0,5

Le grand segment est trop grand par rapport au petit. Nous sommes trop à droite.

Faisons en sorte d'avoir Z3Y/XZ3 = 2/3.

On trouve XZ3/XY = 3/(2+3) = 3/5 = 0,6 < 0,666... Trop à gauche.

Pour que Z4Y/XZ4 = 3/5 On a XZ4/XY = 5/(3+5) = 5/8 = 0,625 > 0,6. Trop à droite.

Disposition pratique des calculs

123581321345589
23581321345589144
0,50,66...0,60,6250,615...0,619... 0,617...0,61818...0,61797...0,61805...
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Calcul d'erreur

Dans la n-ième colonne, appelons pn le numérateur (1e ligne), qn le dénominateur (2e ligne), et rn le résultat (3e ligne).

Au n-ième essai, pn représente donc «le grand morceau», qn «le tout», et «le petit morceau» est donc qn - pn ; et nous choisissons le point suivant de telle manière qu'au (n+1)-ième essai, pn soit «le petit morceau», qn «le grand morceau», et (pn + qn) «le tout».

On a donc:

p0 = q0 = 1 (1) «au premier essai, on coupe au milieu»

pn+1 = qn (2)

qn+1 = pn + qn (3)

rn = pn / qn (4)

«à chaque essai, nous faisons en sorte que le petit soit au grand comme le grand était précédemment au tout»

a) Alternance.

Montrons que l'alternance que nous remarquons ci-dessus entre «trop à gauche» et «trop à droite» subsiste indéfiniment.

Si le n-ième point est trop à gauche, alors

pn / qn < pn-1 / qn-1

c'est-à-dire

pn / qn < (qn - pn) / pn (5)

Dans ce cas,

pn+1 / qn+1

= qn / (pn + qn)

= 1 / ((pn + qn) / qn)

= 1 / (1 + (pn / qn)) (6)

Or, de

pn / qn < (qn - pn) / pn (5), rappel

on déduit successivement

pn / qn < (qn/pn) - (pn/pn)

pn / qn < (qn/pn) - 1

1 + (pn / qn) < qn/pn

1 / (1 + (pn / qn)) > pn / qn

et donc, en vertu de (6),

pn+1 / qn+1 > pn / qn

et le (n+1)-ième point est trop à droite.

On démontre de la même façon (en inversant le sens de toutes les inégalités) que si un point est trop à droite, le suivant sera trop à gauche

c. q. f. d.

b) Précision.

Appelons φ le nombre compris entre 0 et 1, tel que

(1 - φ) / φ = φ/1

(«le petit est au grand comme le grand est au tout»), c'est-à-dire

1/φ - 1 = φ

ou encore

1/φ = 1 + φ

Nous venons de voir que p2n-1 / q2n-1 < φ et que p2n / q2n > φ pour n entier ≥ 1. (En effet, le premier rapport, p1/q1, qui est d'ordre impair, vaut ½, et il est plus petit que φ, qui vaut environ 0,6. Donc la règle d'alternance veut que tous les impairs soient trop petits et tous les pairs trop grands.)

Montrons que, pour chaque dénominateur, le numérateur que nous lui faisons correspondre est le meilleur possible, c'est-à-dire que  (p2n-1 + 1) / q2n-1 > φ  et que  (p2n - 1) / q2n < φ,  c'est-à-dire que l'erreur absolue sur la n-ième valeur approchée est toujours inférieure à 1 / qn.

Par récurrence.
1°) La propriété est vraie pour n = 1.
En effet, (p1 + 1) / q1 = (1 + 1) / 2 = 2/2 = 1, qui est bien < φ ; et (p2 - 1) / q2 = (2 - 1) / 3 = 1/3 = 0,333..., qui est bien > φ.
2°) Si la propriété est vraie pour n, elle est vraie pour (n+1).

Hypothèse.

(p2n-1 + 1) / q2n-1 > φ     (H1)

(p2n - 1) / q2n < φ     (H2)

On sait en outre que

1/φ = 1 + φ    (A)

Thèse.

Nous cherchons à démontrer que

(p2n+1 + 1) / q2n+1 > φ     (T1)

et que

(p2n+2 - 1) / q2n+2 < φ.     (T2)

Démonstration.

1°) Soit à démontrer que (p2n+1 + 1) / q2n+1 ?> φ     (T1)

Transformons cette proposition, en la remplaçant par d'autres, équivalentes, jusqu'à obtenir quelque chose d'évident.

En multipliant les deux membres par qn (un nombre strictement positif), nous obtenons

p2n+1 + 1 ?> q2n+1 φ     (T1a)

Maintenant, en vertu de (A), multiplions à gauche par (1+φ) et à droite par (1/φ) (deux nombres strictement positifs égaux entre eux). Nous obtenons

(p2n+1 + 1) (1 + φ) ?> q2n+1     (T1b)

Remplaçons p2n+1 et q2n+1 par leurs valeurs en fonction de p2n et q2n. Il vient

(q2n + 1) (1 + φ) ?> p2n + q2n     (T1c)

Effectuons le produit dans le membre de gauche.

q2n + 1 + φ (q2n + 1) ?> p2n + q2n     (T1d)

qui équivaut à

φ (q2n + 1) ?> p2n - 1     (T1e)

Or nous savons que

(p2n - 1) / q2n < φ     (H2)

qui entraîne

p2n - 1 < φ q2n     (H2a)

d'où (T1e) se déduit immédiatement

c. q. f. d. (1).

On procède de manière analogue pour ramener (T2) à une conséquence de (T1).

 

Les propriétés énoncées dans le présent chapitre étaient connues de Fibonacci, un mathématicien qui vivait en Toscane vers 1200.


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