Le nombre d'or

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1. Rappel historique et définition

Au point de vue grammatical, la base du groupe de mots «en moyenne et extrême raison» est le mot raison. Rappelons que ce mot est issu du latin ratio, et plus précisément de son accusatif rationem. Ce mot latin avait un sens bien plus vaste que celui que le mot raison possède en français contemporain. Pensons par exemple à l'emploi du mot ratio dans le langage de la finance, où il désigne les rapports entre certaines grandeurs financières; et souvenons-nous aussi qu'en anglais le mot ratio est l'équivalent du sens mathématique du français rapport, c'est-à-dire du quotient de deux grandeurs généralement quelconques. Enfin, le mot français ratiocination nous rappelle que la racine indo-européenne ra- était au départ celle d'un verbe signifiant parler, que l'on retrouve d'ailleurs sous la forme ρη- dans les mots grecs ρητωρ et ρητωρικη, dont nous avons fait respectivement rhéteur et rhétorique.

En résumé, le mot latin ratio et sa racine ra- possèdent les groupes de sens suivants:

  1. Parler, parole, discours, y compris la rhétorique et les ratiocinations sans fondement.
  2. Rapport, quotient, résultat d'un calcul.
  3. Calcul, démonstration, raisonnement.
  4. Faculté de parler et de calculer logiquement, de manière intelligente, rationnelle.
  5. Aptitude à appliquer son intelligence afin de se comporter de manière raisonnable.

Nous voyons donc que ces sens correspondent presque exactement à ceux du grec λογος, à ceci près toutefois que le sens 1 ci-dessus, resté courant en grec, était déjà tombé en désuétude dans le latin de l'époque classique, ce qui explique que la première phrase de l'Évangile de Jean, Εν αρχη ην ο λογος (En arkhê ên o logos), ait été traduite en latin In primis erat verbum, donc au moyen d'un autre mot. On pourrait dès lors se demander si, au lieu des traductions classiques «Au principe était le Verbe» ou «Au commencement était la Parole», il ne vaudrait pas mieux dire «À la base de tout se trouvait la Raison»; mais notre propos n'est pas ici de parler de théologie.

Le sens qui nous intéresse pour comprendre l'expression «en moyenne et extrême raison» est le sens 2, un sens pratiquement tombé en désuétude dans le français d'aujourd'hui, sauf peut-être dans le langage des mathématiciens et des physiciens lorsqu'ils disent que telle grandeur varie en raison directe de telle autre, ou en raison inverse de telle troisième.

Dans ces expressions, le mot raison est interchangeable avec un autre, à savoir le mot proportion. Ceci nous fait souvenir que les deux autres mots importants de notre formule mystérieuse, les mots moyen et extrême, ont eux aussi un sens dans le langage des proportions. Pour ceux qui n'auraient plus fait de mathématiques depuis le lycée, rappelons ce que c'est qu'une proportion.

Fondamentalement, une proportion est une relation entre (typiquement) quatre grandeurs, qui s'écrit:

 A     C      

--- = --- (1a)

 B     D      

ce qui se lit habituellement «A est à B comme C est à D»; mais il ne serait ni plus ni moins exact de dire «A divisé par B égale C divisé par D», ce qui est peut-être plus facile à comprendre mais aussi plus fatigant à prononcer.

Le premier et le dernier des quatre termes de cette proportion, c'est-à-dire A et D, sont appelés les extrêmes, tandis que les deux autres, ceux du milieu quand on lit la formule, sont les moyens. Ces appellations n'ont rien de mystérieux: elles se rapportent tout simplement à l'emplacement des différents termes dans l'énoncé de la formule.

La plus importante de toutes les propriétés des proportions, une propriété qui de mon temps s'enseignait à l'école primaire, s'obtient en multipliant les deux fractions A/B et C/D par le produit BD de leurs dénominateurs. L'égalité (1a) se transforme alors en

A x D = B x C (2a)

et on dit que dans une proportion, le produit des extrêmes (ici A et D) est égal au produit des moyens (ici B et C). Et nous voyons que pour que ça marche, il faut que nous ayons, dans l'un des membres de cette nouvelle égalité, un grand et un petit nombre, et dans l'autre deux nombres moyens: ceci nous donne une nouvelle raison de parler d'«extrêmes» et de «moyens»: en effet, le produit du grand nombre par le petit est égal à celui des deux moyens.

Revenons à notre expression mystérieuse: dans le partage en moyenne et extrême raison, il nous reste un mot à examiner, qui est le mot partage. Pour cela, nous allons passer de la représentation algébrique des égalités (1a) et (2a) ci-dessus, à une représentation géométrique: Soit (fig. 1) un segment de droite XY; pour le partager, nous devrons trouver un troisième point, le point de partage (appelons-le Z) entre X et Y.

						Z ?
						↓
|———————————————————————————————————————————————————————————————|
X								Y
			Fig. 1

Lorsque nous aurons trouvé où nous devons mettre ce point de partage, combien de segments aurons-nous ?

Nous aurons tout d'abord, à gauche du point de partage, un segment XZ.

Nous aurons ensuite, à droite du point de partage, un segment ZY, ce qui fait deux. Est-ce que c'est tout ?

Réponse: Tant que nous nous contentons de marquer la séparation, sans éloigner physiquement les deux parties l'une de l'autre, le segment XY de départ ne disparaît pas. Nous autons donc trois segments, XY, XZ et ZY. Un seul de ces trois segments est connu pour l'instant, mais nous savons aussi que XZ + ZY = XY — comme disaient les philosophes, «le tout est égal à la somme de ses parties».

Or nous avons vu plus haut qu'une proportion concerne quatre grandeurs, qu'à l'époque nous avions appelées A, B, C et D. C'est ici que le prof demande à ses élèves: Comment faire pour que les trois segments XZ, ZY et XY correspondent aux quatre termes d'une proportion ?

…  

Avant de donner la solution de ce problème, il y a un point sur lequel je dois attirer votre attention: c'est qu'à moins de faire le partage «bêtement» en deux parties égales (ce qui ne serait pas assez «mystérieux» pour correspondre au nombre d'or), l'un de nos deux nouveaux segments (XZ et ZY) sera plus long que l'autre; par ailleurs, ils seront évidemment tous deux plus petits que le segment XY de départ. Sur les trois segments XY, XZ et ZY, nous en aurons un grand (XY), un moyen (par exemple, si nous coupons à droite du milieu, XZ), et un petit (dans le même exemple, YZ). Est-ce que ceci vous met sur la voie ?

…  

Eh bien, l'astuce, c'est de faire servir deux fois le segment moyen: Si nous écrivons

ZY.XY = XZ.XZ (2b)

ou encore

 ZY     XZ      

---- = ---- (1b)

 XZ     XY      

cela nous fournit une proportion, qui va nous servir de définition du nombre d'or. Exprimons cela avec des phrases, en bon français.

Définition: 1. Le partage d'une grandeur en moyenne et extrême raison consiste à partager cette grandeur en deux parties inégales, de telle manière que la plus petite partie soit à la plus grande comme la plus grande est au tout. On réalise ainsi ce que l'on appelle la section d'or.

2. Ce rapport du petit au grand morceau, qui est égal au rapport du grand au tout, est appelé nombre d'or. La proportion qui progresse ainsi du petit au grand et du grand au tout, autrement dit la proportion (1b) ci-dessus, est appelée proportion dorée.


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