UNE FONCTION EFFICACE

Albert FRANK

Considérons la fonction F (b ; n) = b ! / ( b – n ) !bⁿ

Cette fonction donne la probabilité de n’avoir, en base b et lors de n occurrences, aucune répétition.

Voici trois exemples d’application :

1. Dans l’écriture d’un nombre réel aléatoire, on considère 4 chiffres consécutifs. La probabilité pour que ces 4 chiffres soient tous différents est donnée par F (10 ; 4) = 504/1000. Il y a ainsi une probabilité 496/1000 (presque 0,5) de voir apparaître un même chiffre au moins deux fois.

2. Lors d’un jet de cinq dés, quelle est la probabilité d’obtenir une suite (c’est-à-dire 1, 2, 3, 4, 5 ou 2, 3, 4, 5, 6) ? La probabilité d’obtenir cinq valeurs différentes est donnée par F(6 ; 5) = 5/54. On aura une suite lorsque le chiffre manquant est soit 1 soit 6, donc trois fois moins fréquemment. La probabilité d’une suite est 5/162 (environ 0,03).

3. Dans le « paradoxe » des anniversaires :

n personnes sont dans une pièce (on suppose les jours d'anniversaire répartis uniformément sur l'année, et le 29 février n’est pas pris en compte.)

. A partir de quelle valeur de n y a-t-il une probabilité supérieure à 0,5 pour qu'au moins deux personnes aient la même date d'anniversaire ?

La probabilité d’avoir n dates différentes est F (365 ; n).

F(365 ; 23) = 0,493. Pour n > = 23, la probabilité d’être en présence d’au moins une répétition est > ½, et la réponse est 23.