LES JEUX D'ALBERT Enoncés

1. Quatre mineurs se trouvent au même endroit, à l'intérieur d'une mine. La mine va exploser dans exactement une heure. Ils ne se déplacent pas à la même vitesse, et sont situés respectivement à 5, 10, 20 et 25 minutes de l'unique sortie. Ils ne peuvent se déplacer qu'avec de la lumière et disposent d'une seule lampe. De plus, ils ne peuvent se déplacer qu'au maximum simultanément par deux (auquel cas la vitesse est celle du plus lent)

Comment vont-ils tous se sauver? TEMPS CONSEILLE: 30 minutes

2. On a un tableau carré 8 sur 8 ( comme un échiquier ). Appelons domino un élément mesurant 2 cases sur une case. A l'aide de 32 dominos, on peut "recouvrir" le tableau.

Enlevons maintenant la case située en bas à gauche et celle située en haut à droite. Il nous reste donc 62 cases. Peut-on recouvrir ce tableau à l'aide de 31 dominos ( qui se placent horizontalement ou verticalement ) ? ATTENTION :

Il faut que la solution puisse être comprise par un enfant de 8 ans ( ou un mensan de 6 ans )! TEMPS CONSEILLE: 20 minutes

3. ANNIVERSAIRES : Nous supposerons les jours d'anniversaire répartis uniformément sur l'année, et ne nous occuperons pas du 29 février.

n personnes sont dans une pièce. A partir de quelle valeur de n y a-t-il une probabilité supérieure à 0,5 pour qu'au moins deux personnes aient la même date d'anniversaire ( jour et mois - on ne s'occupe pas de l'année ). Il faut trouver au moins l'ordre de grandeur de la réponse. TEMPS CONSEILLE: 1 heure

4.Jacques , qui habite à Malines, a deux petites amies, une à Anvers, l'autre à Bruxelles. Ayant constaté que la fréquence des trains pour Anvers et pour Bruxelles est la même, il décide de s'en remettre au hasard pour aller voir l'une ou l'autre, arrivant n'importe quand à la gare, et prenant le premier train qui se présente. Au bout d'un mois, il constate qu'il a rendu visite à son amie de Bruxelles bien plus souvent qu'à celle d'Anvers! Comment expliquer cela?

TEMPS CONSEILLE : 20 minutes

10 11 12 13 14 15 16 17 20 22 24 31 100 ? 10000

TEMPS CONSEILLE: 5 heures

6. On est en présence de douze boules, dont 11 ont le même pois, et une a un poids différent ( on ne sait pas si elle est plus lourde ou plus légère que les autres ). On dispose d'une balance à plateaux. Déterminer, en trois pesées, quelle est la boule de poids différent, et déterminer si elle est plus lourde ou plus légère que les autres. TEMPS CONSEILLE : 1 heure

7. Nous admettrons ( pour ce problème ) que tout type de rapport présente un danger de contamination par le virus du SIDA.

Jacques désire honorer trois jeunes filles, mais il ne dispose que de deux préservatifs. Comment va-t-il s'y prendre? TEMPS CONSEILLE : 20 minutes

8. Chaque lettre représente un chiffre différent. Reconstituer l'addition ( les nombres ne peuvent pas commencer par zéro ) :

SEND

+MORE

= MONEY

TEMPS CONSEILLE : 25 minutes

9. Comment obtenir le nombre 8888 en utilisant ( chacun une fois ) les chiffres 5, 7, 8, 9 et 9 ( le 9 apparaît deux fois ), les symboles +, - , x, / , les parenthèses, et en pouvant placer les chiffres donnés en exposant ?

TEMPS CONSEILLE: 20 minutes

10. Dans l'énoncé suivant, seuls les poids pesant un nombre ENTIER de kilos sont pris en considération.

On dispose d'une balance à plateau, et de quatre poids de référence. Quelles doivent être ces 4 poids afin de pouvoir peser tous les poids entiers de 1 à 40 kilos? TEMPS CONSEILLE: 1 heure

11. Les élèves recherchent deux nombres entiers A et B non nuls

( éventuellement négatifs) . Le professeur, qui ne se trompe jamais ( en tout cas dans cet énoncé), affirme :

-"Si A est différent de B, le carré de A est égal à cinq fois B".

Un élève intervient: -"Si on ajoute B à trois fois A, on ne trouve pas zéro".

Un deuxième élève intervient : " Si A+B est égal à 30, A est égal à 10".

-" L'un de vous dit vrai, l'autre se trompe", dit le prof.

Que valent A et B? TEMPS CONSEILLE: 30 minutes

12. Dans une bibliothèque, les livres sont classés de gauche à droite. Un ver commence à dévorer la page 1 du tome 1 d'une encyclopédie en trois volumes. Après 4 jours pendant lesquels il n'a pas cessé de ronger page par page , il atteint la dernière page du tome 3. L'épaisseur de chaque volume, couverture comprise est de 6 cm. La couverture seule a 1,5 mm d'épaisseur. Le ver se déplace perpendiculairement au plan des pages de l'encyclopédie. Quelle distance a-t-il parcouru pendant ces 4 jours? TEMPS CONSEILLE:

20 minutes

13. Trouver un nombre de 9 chiffres différents ( tous les chiffres sauf zéro) tel que le nombre formé par les k premiers chiffres à partir de la gauche soit divisible par k . TEMPS CONSEILLE : 25 minutes

14. Paul et Serge sont des mathématiciens. Ils doivent ( ainsi que nous), trouver deux nombres entiers A et B compris entre 2 et 19 inclus.

Paul reçoit le produit des deux nombres, tandis que Serge reçoit leur somme.

Ils ont alors la conversation suivante:

Paul : " Je ne peux pas les déterminer"

Serge : "Dans ce cas, moi je les connais"

Paul : " Cela ne me permet toujours pas de les trouver".

Serge :" Je te précise qu'ils sont différents"

Trouver A et B. TEMPS CONSEILLE : 25 minutes

15. Antoine, Bernard et Christian, qui sont dans la ville A, doivent tous les trois se rendre dans la ville B, distante de 30 kilomètres. Ils ne disposent que de deux vélos. La vitesse des vélos est de 20 km/h. A pied, la vitesse de nos personnages est de 5 km/h. Au bout de combien de temps peuvent-ils se retrouver tous trois dans la ville B? TEMPS CONSEILLE : 20 minutes

16. Monsieur et Madame Dupont ont des habitudes : Chaque jour, Monsieur Dupont arrive à la gare de sa ville à la même heure. Au même moment, Madame Dupont arrive en voiture, embarque Monsieur et ils rentrent chez eux, par une route sinueuse. Ils arrivent chez eux chaque jour à la même heure. On admettra tout au long du problème que la vitesse de la voiture est constante.

Un jour, Monsieur Dupont arrive à la gare une heure plus tôt que d'habitude.

Madame, partie comme d'habitude, n'est pas encore là. Monsieur décide de faire le début du trajet à pied, jusqu'à ce qu'il la rencontre et qu'ils rentrent chez eux. Ce jour-là, ils arrivent chez eux 20 minutes plus tôt que d'habitude.

Pendant combien de temps Monsieur Dupont a-t-il marché?

TEMPS CONSEILLE : 40 minutes

17. Les habitants d'un monastère se réunissent une fois chaque jour. Ils ne disposent d'aucun miroir. Ils ne peuvent pas se parler.

Un jour, avant la réunion, leur chef tient le discours suivant : Certains ( au moins un) d'entre vous ont une marque sur le front. Si vous savez que c'est votre cas, vous devez vous suicider après la réunion.

Nous savons qu'il y a exactement dix habitants "marqués".

Après 9 réunions, combien se sont - ils suicidés?

Après 10 réunions, combien se sont - ils suicidés?

TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

18.

TEMPS CONSEILLE : 20 minutes

19. Dix sacs, numérotés de 1 à 10, contiennent chacun 1000 pièces de monnaie. Les pièces de neuf des sacs pèsent chacune 1 gramme, tandis que les pièces d'un des sacs pèsent chacune deux grammes. On dispose d'une balance ordinaire, précise, avec des graduations par gramme. Comment, en une seule pesée, trouver le sac le plus lourd? TEMPS CONSEILLE : 40 minutes.

20. Une machine à calculer scientifique a quelques problèmes : toutes les touches numériques sont hors d'usage, et on ne peut même pas utiliser les nombres e ou pi. Seules sont utilisables les fonctions ( dont ln, racine carrée, factorielle, ... mais pas exponentielle) . Dans une mémoire, nous avons un nombre ( inconnu) strictement positif a.

Comment, en utilisant trois fois ce nombre a, obtenir le nombre 6?

TEMPS CONSEILLE : 30 minutes

21. Le problème " les jeux d'Albert n° 6" demandait , à l'aide d'une balance à plateaux, de déterminer en trois pesées quelle était la "coupable" parmi un ensemble de 12 boules dont une avait un poids différent des autres, et de déterminer si elle était plus lourde ou plus légère que les autres.

Il faut maintenant généraliser le problème : Etant donné n boules ( n quelconque > 2), dont une a un poids différent des autres, en combien de pesées peut -on identifier la boule différente et déterminer si elle est plus lourde ou plus légère que les autres? TEMPS CONSEILLE : 1 heure 30 minutes.

22. LES TROIS PORTES ou LE PARADOXE QUI REND FOU.

Vous avez le choix entre trois portes. Derrière une d'entre elles, un trésor ; derrière les deux autres, rien.

1° .Vous choisissez une des trois portes.

2°. Un individu, vous montrant une des deux portes que vous n'avez pas choisie, vous dit , en l'ouvrant : " tu as eu raison de ne pas choisir celle-ci - regarde - le trésor n'est pas ici ".

3°. Maintenez-vous le choix que vous aviez fait au 1°. ou choisissez-vous l'autre porte restante? Quelles sont vos probabilités en fonction du choix?

TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

23. Chaque lettre représente un chiffre différent. Reconstituer l'opération ( les nombres ne peuvent pas commencer par zéro ) : ( il est interdit d'utiliser un ordinateur - sinon c'est trop facile!)

sin2 + cos2 = unite TEMPS CONSEILLE : 50 minutes.

24. La loi de Benford.

On fait une liste du nombre d'habitants de chaque ville ( ou village) de Belgique. Quel est approximativement le pourcentage des éléments de cette liste dont le premier chiffre sera un "1" ou un "2" ?

Même question si on s'intéresse à la surface, exprimée en kilomètres carrés, de tous les lacs du monde. TEMPS CONSEILLE : 1 heure.

25. Comment obtenir le nombre 8888 en utilisant ( chacun une fois ) les nombres 5,6, 7, 8, 9,10 , et les symboles ( chacun exactement une fois) +, - , x, / , exposant, ( ) ? TEMPS CONSEILLE : 25 minutes.

26. Les deux dés : Deux dés cubiques ont, sur chacune de leurs faces, un nombre entier de un à douze. ( toutes les faces doivent comporter un de ces nombre, et rien n'interdit que deux ou plusieurs faces portent le même nombre). Lorsque l'on lance les deux dés, et que l'on s'intéresse à leur somme, on voit apparaître toutes les sommes de deux à dix-neuf. De plus, toutes ces sommes sont équiprobables. Décrivez les deux dés.

TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

27. Le compte est bon. Comment obtenir le nombre 531 en utilisant maximum une fois chacun des nombres 3, 4, 9, 25, 50, 100, les quatre opérations +, -, x, / et les parenthèses? TEMPS CONSEILLE : 20 minutes.

28. Le dictateur. Dans un pays lointain, où tout se passait "normalement", un dictateur prend le pouvoir. Ses buts sont de diminuer l'accroissement de la population et d'augmenter le rapport garçons / filles (qui est actuellement de 1) ordonne: " Désormais, dès qu'une femme a une fille, elle ne pourra pas avoir d'autre enfant". Les buts du dictateur seront-ils atteint? TEMPS CONSEILLE : 20 minutes.

29. Le bateau. Un bateau se trouve dans un tout petit lac. A bord il y a une charge d'un mètre cube de métal de densité 10. L'équipage jette cette charge par dessus bord. Quelle est l'influence sur le niveau du lac? Même question avec un mètre cube de densité un (de l'eau)... et même question avec un mètre cube de bois de densité 0,5. TEMPS CONSEILLE : 20 minutes.

30. La traversée du désert. Jacques doit traverser à pied un petit désert. La traversée prend six jours. Il peut se faire aider par des porteurs. Chacun (Jacques, les porteurs) peut emporter avec lui de la nourriture pour 4 jours. Personne ne doit mourir de faim! Sachant qu'un porteur coûte 1000 francs par jour et que la nourriture est gratuite, de combien de porteurs Jacques aura-t-il besoin, et quel sera le coût minimum? TEMPS CONSEILLE : 20 minutes;

31. Les jumeaux. Antoine et Bernard sont des vrais jumeaux. L'un d'eux ment toujours, l'autre alterne vérité et mensonge. Le détective Jacques a trouvé un pistolet qui appartient à l'un d'eux. Grâce aux trois questions suivantes, qu'il pose aux deux jumeaux, il doit déterminer si le pistolet appartient à Antoine ou à Bernard:

- Question 1: "est-ce votre pistolet?".

Les deux jumeaux répondent "non".

- Question 2: "est-ce le pistolet de votre frère?".

Le jumeau situé à gauche répond "oui", celui situé à droite répond "non".

- Question 3: "vous appelez-vous Antoine?".

Les deux jumeaux répondent "oui".

Le pistolet appartient-il à Antoine ou à Bernard? TEMPS CONSEILLE: 25 minutes.

32. Le livre. Dans ce livre, la première page du chapitre 1 porte le numéro 1.

Chaque chapitre comporte une page de plus que le précédent. Il n'y a pas de page vierge et la pagination du dernier chapitre a nécessité l'utilisation de 43 chiffres. Combien de pages et combien de chapitres comporte ce livre?

TEMPS CONSEILLE: 1 heure.

33. Deux routes, deux frères. Désirant vous rendre à Marseille, vous vous trouvez devant une bifurcation, dont l'une des deux routes mène à Marseille, l'autre ailleurs. A cette bifurcation, il y a une maison, dans laquelle habitent deux frères, l'un qui dit toujours la vérité et l'autre qui ment toujours. Un des frères se présente ( vous ne savez pas lequel). Vous avez le droit de lui poser une seule question. Quelle question lui poserez-vous pour trouver votre chemin ? TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

34. Deux routes, deux autres frères. Tout comme dans le problème n° 33, vous vous trouvez devant une bifurcation dont l'une des deux routes mène à Marseille, l'autre ailleurs. A cette bifurcation, il y a une maison, dans laquelle habitent deux frères, parmi lesquels vous savez qu'il y a au moins un menteur . Un des frères se présente ( vous ne savez pas lequel). Vous avez le droit de lui poser une seule question. Quelle question lui poserez-vous pour trouver votre chemin ? TEMPS CONSEILLE : 50 minutes.

35. Projections. On considère les trois projections d'un solide sur trois plans orthogonaux. Pour chaque projection, les arêtes visibles sont représentées par des traits pleins, les arêtes cachées par des pointillés. Sachant que deux des projections sont identiques et sont chacune des carrés emboîtés (voir schéma ci-dessous), trouver la troisième projection. TEMPS CONSEILLE : 25 minutes.

36. Apothéose. Dans une pièce se trouvent des coffre-fort, numérotés de 1 à n. Les membres d'une famille ont depuis longtemps mis des bijoux dans certains d'eux, laissant les autres vides. De nombreux membres de cette famille sont présents. Certains d'entre eux disent toujours la vérité, les autres mentent toujours. Le trésor sera à vous si vous ouvrez tous les coffres dans lesquels se trouvent des bijoux, et aucun autre. Quelle question poserez-vous à une -prise au hasard- de ces personnes pour pouvoir, avec certitude, ouvrir uniquement ces coffres? TEMPS CONSEILLE : 1 heure.

37. Chronométrage. Vous disposez uniquement du matériel suivant : un briquet et deux cordes. Chacune de ces deux cordes brûle en exactement une heure, mais de façon non linéaire (certaines parties brûlent plus vite que d’autres) . De plus, elles ne sont pas de même longueur. Comment faites-vous pour chronométrer un temps de 45 minutes ? TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

38. Opérations simples. Comment obtenir le nombre 24 en utilisant deux fois le chiffre 3 et deux fois le chiffre 7, ainsi que les 4 opérations élémentaires et les parenthèses ? TEMPS CONSEILLE : 30 minutes. (l’usage d’un ordinateur est interdit)

39. Partage. Deux personnes sont dans le désert. Elles ont une bouteille remplie d’eau, de forme irrégulière. Le seul matériel dont elles disposent en plus est un marqueur, qui peut écrire sur la bouteille. Comment peuvent-elles boire chacune la moitié de l’eau ? TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

40. Particularité. Quelle particularité trouvez-vous au message suivant : « Le juge qui fume la pipe voudrait que vous buviez ce bon vieux whisky » ?

TEMPS CONSEILLE : 15 minutes.

41. Le moins possible . Parmi cent personnes, 85 ont un GSM, 80 portent des lunettes, 75 ont une chemise jaune et 70 aiment la géographie. Quel est le nombre minimum possible de ces personnes qui, à la fois, ont un GSM, portent des lunettes, ont une chemise jaune et aiment la géographie ? TEMPS CONSEILLE : 20 minutes.

42. Stratégies. Bernard et Claude jouent au jeu suivant : Bernard aligne, faces cachées, cinq cartes dont 1 As. Claude choisit ensuite deux cartes adjacentes. S’il trouve l’As, il a gagné. Ils jouent un grand nombre de parties. Quelle est la stratégie optimale de Bernard (pour le placement de l’As) ? Et celle de Claude (pour le choix des deux cartes adjacentes) ? S’ils jouent tous deux de façon optimale, quelle sera la probabilité de gain de chacun ? TEMPS CONSEILLE :

50 minutes.

43. Trouver un nombre de 10 chiffres (ce nombre ne peut pas commencer par zéro), tel que le premier chiffre soit égal au nombre de 0 dans le nombre, le deuxième chiffre soit égal au nombre de 1 dans le nombre, et ainsi de suite, le dernier chiffre étant égal au nombre de 9 dans le nombre.

TEMPS CONSEILLE: 25 minutes.

44. Sur chacune des 12 arêtes d'un cube, écrire des nombres entiers différents, de manière que:

-1. Les 8 sommes de 3 nombres correspondant aux arêtes qui forment un sommet du cube soient égales.

-2. Les 6 sommes de 4 nombres correspondant aux arêtes qui forment une face du cube soient égales.

-3. Les sommes qui apparaissent dans 1° et 2° soient les plus petites possibles.

TEMPS CONSEILLE: 50 minutes.

45. Petite énigme: Quel titre pourrait-on donner à la phrase suivante: " Jef a mêlé, à Liège, ergonomie et poésie verte"? TEMPS CONSEILLE: 15 minutes.

46. Quelle est la propriété commune aux deux groupes de nombres suivants:

groupe 1: 9, 11, 25

groupe 2: 17.147, 18.793, 19.616

TEMPS CONSEILLE: 3 heures.

47. Presque 75 % : Vous disposez de 10 boules blanches et de 10 boules noires. Vous devez placer ces 20 boules dans deux urnes. Lorsque vous aurez placé les boules dans les urnes, un homme choisira une des urnes au hasard, puis, toujours au hasard, une des boules dans l’urne qu’il aura choisie. S’il tire une boule blanche, il aura « gagné ». Comment disposez-vous les boules dans les urnes pour maximiser les chances de gain de cet homme ?

TEMPS CONSEILLE : 20 minutes.

48. Chiens, chats, souris. Sachant qu’un chien coûte 15 francs, un chat 1 franc et une souris 0,25 franc (ce n’est pas cher, mais là n’est pas le problème !), que l’on doit dépenser exactement 100 francs pour acheter exactement 100 animaux, et que de plus on doit acheter au moins un animal de chaque sorte, combien d’animaux de chaque espèce achèterons-nous ? Il faut résoudre le problème par un raisonnement simple – pas de système d’équation !

TEMPS CONSEILLE : 20 minutes.

49. Pile ou face (p ou f). Bernard dit à Jean : « Si nous jetons trois fois de suite une pièce de monnaie, les huit cas suivants peuvent se présenter et sont équiprobables : fff, fpf, ffp, fpp, pff, ppf, pfp et ppp. Tu choisis un de ces cas, j’en choisirai un autre. Ensuite, nous jetterons la pièce jusqu’à ce qu’un de nos deux triplets apparaisse, ce qui déterminera le gagnant. Je te fais en plus une faveur : si je gagne, tu me donneras 10 francs, mais si tu gagnes, je te donnerai 14 francs. »

Jean a-t-il intérêt à accepter ? TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

50. Allons sur la montagne. Jacques décide de faire une excursion de deux jours. Le premier jour, il partira à 7h du matin pour gravir une montagne et arriver en haut à 7h du soir. Il n’y a qu’un seul chemin qui lie le bas au haut de la montagne. Il dormira sur la montagne, et le lendemain repartira à 7h du matin pour être revenu à 7h du soir. A l’aller comme au retour, il n’est pas pressé, parfois marche, parfois court, s’arrête plusieurs fois pour manger, à des heures quelconques. Quelle est la probabilité pour qu’il passe, les deux jours de suite, par un même point exactement à la même heure ? TEMPS CONSEILLE : 40 minutes.

51. Une suite étrange.

5,6,7,8,8,8,8, ?, ? TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

52. Opérations simples. Comment obtenir le nombre 24 en utilisant, chacun une fois, les chiffres 1, 3, 4 et 6, ainsi que les 4 opérations élémentaires et les parenthèses ? TEMPS CONSEILLE : 30 minutes. (l’usage d’un ordinateur est interdit)

53. Elections. Antoine, Bernard et Claude se présentent aux élections. Celui qui aura le plus de voix sera élu. Un sondage montre que 2/3 des votants préfèrent Antoine à Bernard, et que 2/3 des votants préfèrent Bernard à Claude. Que peut-on dire des chances respectives des candidats ?

TEMPS CONSEILLE : 30 minutes

54. Répartition. On admettra qu’il y a une probabilité égale, pour chaque enfant, d’être un garçon ou une fille. Dans une famille de quatre enfants, quelle est la répartition la plus probable des sexes de ceux-ci (4 – 0, 3 – 1 ou 2 – 2) ? TEMPS CONSEILLE : 10 minutes

55. Deux écritures : De deux manières différentes, en utilisant pour chacune cinq fois le chiffre 3, comment obtenir le nombre 31 ? (toutes les opérations n’utilisant que des 3 sont permises). TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

56. 400 cases. Sur une grande feuille quadrillée, tracez un carré 20 x 20. Les cases de la première ligne seront numérotées, de gauche à droite, 1 à 20, celles de la deuxième ligne 21 à 40 etc. Jetez maintenant 400 fois une pièce de monnaie. Si le premier jet est « pile », coloriez la case n°1 en bleu, s’il est face coloriez-la en rouge, et de même pour les autres cases. Que constatez-vous ? TEMPS CONSEILLE : 50 minutes (le temps de faire le dessin)

57. Le duel. Antoine, Bernard et Claude vont se battre en un duel très spécial : Ils sont disposés aux sommets d’un triangle équilatéral, dont ils ne bougent pas. Ils tirent au sort l’ordre de tir, et chacun devra tirer à son tour (sur l’un des deux autres ou en l’air). Le duel se terminera lorsqu’il ne restera qu’un seul survivant. Les trois tireurs ont des habiletés différentes : Antoine réussit toujours sont coup, Bernard fait mouche dans 80 % des cas, et Claude seulement une fois sur deux. Quelle est la stratégie qui donnera à Claude les meilleures chances de survie ? Quelles sont les probabilités de survie de chacun des trois tireurs ? (Martin Gardner cite ce problème en 1938). TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

58. Opérations simples. Comment obtenir le nombre 21 en utilisant, chacun une fois, les chiffres 1, 5, 6 et 7, ainsi que les 4 opérations élémentaires et les parenthèses ? TEMPS CONSEILLE : 30 minutes. (l’usage d’un ordinateur est interdit)

59. Sud, Est, Nord. Sur la terre, un homme se déplace de 1 kilomètre vers le sud, puis de un kilomètre vers l’est, puis de un kilomètre vers le nord, et se retrouve à son point de départ. Comment cela est-il possible, SACHANT QUE L’HOMME N’EST PAS PARTI DU POLE NORD ? TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

60.Jumeaux. Comment deux jumeaux peuvent-ils avoir leur anniversaire à deux jours d’intervalle? TEMPS CONSEILLE : 20 minutes.

61. Oiseaux. Antoine, Bernard et Charles observent des oiseaux. Chacun voit un oiseau que les autres ne voient pas. Chaque paire (Antoine + Bernard, Antoine + Charles et Bernard + Charles) voit un oiseau que le troisième ne voit pas. Un oiseau est vu par les trois amis. Parmi les oiseaux qu’Antoine a vus, deux sont jaunes. Parmi les oiseaux vus par Bernard, trois sont jaunes. Parmi ceux vus par Charles, quatre sont jaunes. Combien d’oiseaux ont été vus en tout ? Et parmi ceux-ci, combien étaient jaunes ? TEMPS CONSEILLE : 40 minutes.

62. Vitesse. Une route relie votre maison au magasin d’informatique le plus proche. Vous vous rendez au magasin à une vitesse de 20 km/heure. Quelle doit être votre vitesse au retour pour que votre vitesse moyenne soit de 40 km/heure ? TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

63. Cent-un . Comment trouver le nombre 101 en utilisant six fois le chiffre 9 ? TEMPS CONSEILLE : 10 minutes.

64. Fleurs. Toutes mes fleurs sauf deux sont des tulipes. Toutes mes fleurs sauf deux sont des roses. Toutes mes fleurs sauf deux sont des marguerites. Combien de fleurs est-ce que j’ai ? Donnez deux solutions. TEMPS CONSEILLE : 10 minutes.

65. Fruits. Vous êtes en présence de trois boîtes de fruits. Une boîte contient uniquement des oranges, une contient uniquement des pommes, et une un mélange des deux. Des étiquettes sont sur chaque boîte : « oranges », « pommes », et « oranges et pommes ».Nous savons qu’aucune des étiquettes n’est correcte. Comment pouvez-vous placer les étiquettes correctement, si vous êtes juste autorisé à regarder un fruit d’une des boîtes ? TEMPS CONSEILLE : 15 minutes.

66. Allumettes. Avec des allumettes, formez le motif suivant :

Ce dessin comprend cinq carrés (de côté une allumette). En déplaçant deux allumettes, formez un dessin ne comportant que quatre carrés (de côté une allumette). Les allumettes ne peuvent être ni pliées, ni coupées, ni superposées, ni brûlées. Toutes les allumettes doivent être utilisées pour la construction du dessin. TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

67. 14 + 15 =30. Avec des allumettes, écrivez, EN CHIFFRES ROMAINS, 14 + 15 = 30.

En déplaçant une allumette, comment rendre l’égalité exacte ? TEMPS CONSEILLE : 10 minutes.

68. Echiquier. Sur les 25 cases d’un échiquier 5x5, comment placer cinq dames blanches et trois dames noires, de manière à ce qu’aucune dame ne puisse être prise en un coup ? TEMPS CONSEILLE : 20 minutes.

69. Enveloppe et super enveloppe. L’énoncé que voici est bien connu et facile : sans lever le bic, et sans revenir en arrière, recouvrez toutes les lignes du dessin suivant :

Prenons maintenant une super enveloppe :

Dans les mêmes conditions, est-il possible de recouvrir toutes les lignes ? Si oui, donnez une solution ; si non démontrez pourquoi. TEMPS CONSEILLE : 50 minutes.

70. Téléphone. N personnes (plus de trois) connaissent chacun des éléments d’information. Ils peuvent téléphoner de l’un à l’autre et se communiquer tous les renseignements qu’ils détiennent. Quel est le nombre minimum de coups de téléphone nécessaires pour qu’ils puissent tous connaître la totalité de l’information ? TEMPS CONSEILLE : 50 minutes.

71. Hexagomagix. La figure hexagonale suivante contient 19 intersections. Tout comme pour un carré magique, il faut y placer les nombres de 1 à 19 (chacun une fois) de façon à ce que les 15 sommes (le long des 15 segments présents) soient toutes égales à 38. TEMPS CONSEILLE : 4 heures.

72. Naissances. On admettra qu’il naît en moyenne autant de filles que de garçons. Dans l’hôpital A, il y a environ 200 naissances par jour. Dans l’hôpital B, environ 50 naissances par jour. Dans lequel des deux hôpitaux la probabilité d’avoir exactement, un jour déterminé, le même nombre de garçons et de filles est-elle la plus élevée ? TEMPS CONSEILLE : 30 minutes.

73. Roulette russe. Vous jouez avec un autre joueur à la roulette russe. Le revolver a cette fois trois cartouches placées consécutivement (sur 6 chambres). Préférez-vous tirer le premier ou le second, et quelle est alors votre probabilité de survie ? TEMPS CONSEILLE : 10 minutes.

74. Deux verres, chacun de contenance 25 centilitres, sont remplis l’un de 20 centilitres de vin, l’autre de 20 centilitres d’eau. Dans un premier temps, on transvase 5 centilitres de vin dans l’eau. Ensuite, on transfère 5 centilitres du mélange obtenu dans le vin. Laquelle des deux proportions eau/vin dans le premier verre et vin/eau dans le deuxième sera-t-elle la plus élevée ?

TEMPS CONSEILLE : 15 minutes.

75. Chapeaux. Il y a eu du désordre dans un vestiaire, et les chapeaux sont rendus au hasard ! Quelle est la probabilité pour que personne ne récupère son propre chapeau ? (Une approximation est demandée – il y a environ 100 personnes qui avaient mis leurs chapeaux au vestiaire)

TEMPS CONSEILLE : 1 heure.

76. Mille. Ecrire d’au moins trois façons différentes le nombre 1000 en utilisant (chaque fois) huit « 8 ». (toutes les opérations n’utilisant que des 8 sont permises) TEMPS CONSEILLE : 20 minutes.

77. Flèches. Bernard, dont l’habilité est supposée à peu près constante, tire deux flèches sur une cible. La deuxième touche la cible beaucoup plus loin du centre que la première. Il tire ensuite une troisième flèche. Quelle est la probabilité qu’elle soit également plus loin du centre que la première ? TEMPS CONSEILLE : 20 minutes.

78. Taxis. Dans une ville, il y a deux compagnies de taxis, d’égales dimensions. Cependant, 80 % des accidents de circulation de taxis surviennent à des taxis oranges, seulement 20 % à des taxis jaunes. Une nuit, un accident a lieu, et le taxi, qui est en tort, s’enfuit. Un témoin dit que c’était un taxi jaune. Le tribunal constate que le témoin est fiable à 80 % (mis dans les mêmes circonstances d’éclairage, il identifie correctement la couleur 80 fois sur cent). Quelle est la probabilité pour que le taxi fautif soit jaune ? TEMPS CONSEILLE : 40 minutes.

79. Suite. 1 2 4 12 60 ? TEMPS CONSEILLE : 10 minutes.

80. Premiers entre eux. A et B étant deux entiers différents strictement positifs pris au hasard, quelle est la probabilité pour qu’ils soient premiers entre eux (c’est-à-dire qu’ils n’aient pas de diviseur commun autre que 1) ? TEMPS CONSEILLE : 7 heures.