Danger des statistiques.

Albert FRANK

Erreurs de première espèce, de deuxième espèce, autres erreurs – attention, voici deux exemples courants, et les catastrophes qui en découlent. Ces exemples sont inspirés du livre « The power of logical thinking » de Marilyn Vos Savant (*), mais sont très courants.

1. Test de drogue. On admettra les deux hypothèses suivantes :

- 5 % des gens se droguent.

- la fiabilité du test est de .95.

Quelle est la probabilité pour qu’un individu choisi au hasard et pour lequel le test s’avère positif soit un drogué ?

Prenons une population de 10.000 personnes. (dont 9.500 non drogués et 500 drogués). Le test sera positif pour 5 % des non drogués, soit pour 475 non drogués. Il sera également positif pour 95 % des drogués, soit pour 475 drogués. La probabilité cherchée est de 0,5 !! 

2. Cancer du sein. On admettra les deux hypothèses suivantes :

- 1 % des femmes qui présentent une grosseur au sein ont un cancer du sein.

- La fiabilité d’une mammographie est de .8 pour les cancers et de .9 pour les tumeurs bénignes.

Quelle est la probabilité pour qu’une femme présentant une grosseur dans la poitrine

et pour laquelle la mammographie est positive ait un cancer du sein ?

La simple application du théorème de Bayes donne :

P(cancer | positif) =

P(positif | cancer) x P(cancer)

P(positif | cancer) x P(cancer) + P(positif | bénigne) x P (bénigne)

La probabilité cherchée est donc de (0,8 x 0,01)/[(0,8 x 0,01) + (0,1 x 0,99)] = 0,075.

Il y a donc 7,5 chances sur cent d’être en présence d’un cancer du sein. Sur 100 médecins interrogés, plus de 90 ont estimé cette probabilité à environ 0,75 !!

*. Dans ce livre sont expliquées de manière claire les principales faiblesses du raisonnement humain. Citons :

- La tendance à linéariser tous les problèmes.

- La confiance erronée en l’ « intuition » (qui linéarise !).

- L’incapacité d’appréhender globalement un problème.

- La non-compréhension des notions de probabilité et de statistique.

- La crédulité.